Một số dạng bài tập xét sự hội tụ của chuỗi số dương

October 18, 2007

Một số dạng bài tập xét sự hội tụ của chuỗi số dương

Filed under: Giải Tích 4 — Ngô Quốc Anh @ 14:54

1. Let $\sum a_n$ be a convergent series, with $a_n \geq 0$ . What can we say about the nature of each of the following series?

(a) $\displaystyle\sum\sqrt {a_n}$	(b) $\displaystyle\sum a_n^2$	(c) $\displaystyle\sum \frac {a_n}{1 + a_n}$
(d) $\displaystyle\sum \frac {a_n^2}{1 + a_n^2}$	(e) $\displaystyle\sum \frac {\sqrt {a_n}}{n}$	(f) $\displaystyle\sum \frac {a_n}{\sqrt {n}}$
(g) $\displaystyle\sum \frac {a_n}{n}$	(h) $\displaystyle\sum na_n$	(i) $\displaystyle\sum \cos(a_n)$
(j) $\displaystyle\sum \sin(a_n)$	(k) $\displaystyle\sum \tan(a_n)$	(l) $\displaystyle\sum \cos(\sqrt {a_n})$
(m) $\displaystyle\sum [1 - \cos(\sqrt {a_n})]$	(n) $\displaystyle\sum [1 - \cos(a_n)]$	(o) $\displaystyle\sum \arcsin(a_n)$
(p) $\displaystyle\sum \arccos(a_n)$	(q) $\displaystyle\sum a_n^{3/2}$	(r) $\displaystyle\sum a_n^3$
(s) $\displaystyle\sum \frac {a_1 + a_2 + ... + a_n}{n}$	(t) $\displaystyle\sum \arctan(a_n)$	(u) $\displaystyle\sum \frac {1}{1 + a_n}$
(v) $\displaystyle\sum ( - 1)^na_n$	(w) $\displaystyle\sum \sqrt [n]{a_n}$	(x) $\displaystyle\sum (a_n - a_{n + 1})$
(y) $\displaystyle\sum [\ln(1 + a_n)]^{5/4}$

2) Regarding the same series of the previous question, how about if $\sum a_n$ diverges?

Hint.

$\displaystyle\left( a \right) \to a_n = \frac{1}{{n^2 }}$ .

$\displaystyle\left( b \right) \to a_n^2 \leqslant a_n \sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {a_n }$ .

$\displaystyle\begin{gathered}\left( d \right) \to \frac{{a_n^2 }}{{1 + a_n^2 }} \leqslant \frac{{a_n^2 }}{{2a_n }} = a_n \hfill \\\left( c \right) \to \frac{{a_n }}{{1 + a_n }} \leqslant a_n . \hfill \\\end{gathered}$

$\displaystyle\left( e \right) \to \frac{{\sqrt {a_n } }}{n} \leqslant \frac{1}{2}\left( {a_n + \frac{1}{{n^2 }}} \right)$

$\displaystyle\left( f \right) \to \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac {{\frac {{a_n }} {{\sqrt n }}}} {{a_n }} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac {1} {{\sqrt n }} = 0= \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac {1} {n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac {{\frac {{a_n }} {n}}} {{a_n }} \leftarrow \left( g \right)$

$\displaystyle\left( h \right) \to a_n = \frac{1}{{n^2 }}$ .

$\displaystyle\left( i \right) \to$ .

$\displaystyle\left( j \right) \to |\sin(a_n)| \leqslant a_n$ .

$\displaystyle\left( k \right) \to$ .

$\displaystyle\left( l \right) \to$ .

$\displaystyle\left( m \right) \to$ .

$\displaystyle\left( n \right) \to$ .

$\displaystyle\left( o \right) \to$ .

$\displaystyle\left( p \right) \to$ .

$\displaystyle\begin{gathered} \left( q \right) \to a_n^{\frac{3}{2}} \leqslant a_n \hfill \\\left( r \right) \to a_n^3 \leqslant a_n \hfill \\\end{gathered}$

$\displaystyle\left( s \right) \to \frac{{a_1 }}{n} \leqslant \frac{{a_1 + ... + a_n }}{n}$ .

$\displaystyle\left( t \right) \to$ .

$\displaystyle\left( u \right) \to a_n = \frac{1}{{n^2 }}$ .

$\displaystyle\left( v \right) \to$ .

$\displaystyle\left( w \right) \to a_n = \frac{1}{{n^n }}$ .

$\displaystyle\left( x \right) \to |a_n-a_{n+1}| \leqslant a_n + a_{n+1}$ .

$\displaystyle\left( y \right) \to$ .

Comments (6)

6 Comments »

giai di. sao co moi bai tap ma khong co loi giai. thi ai biet dau ma lam ha

Comment by giai — May 16, 2009 @ 15:54

Reply
- Có gợi ý rồi mà
  
  Comment by Ngô Quốc Anh — December 16, 2009 @ 22:48
  
  Reply
giải thích rõ hơn đi bạn…

Comment by tung hee — December 4, 2011 @ 21:04

Reply
- Chào tung hee, đó là các dạng, đề bài phát biểu quá rõ ràng rồi, còn cần giải thích gì nữa.
  
  Comment by Ngô Quốc Anh — December 4, 2011 @ 21:14
  
  Reply
giai thich dum minh cau a @@

Comment by quang — February 16, 2012 @ 22:28

Reply
- Câu a) ta không thể khẳng định được chuỗi chưa căn hội tụ. Phản ví dụ như đề cập ở dưới, dùng $\frac{1}{n^2}$ .
  
  Comment by Ngô Quốc Anh — February 16, 2012 @ 23:57
  
  Reply

RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

M	T	W	T	F	S	S
« Sep				Nov »
1	2	3	4	5	6	7
8	9	10	11	12	13	14
15	16	17	18	19	20	21
22	23	24	25	26	27	28
29	30	31

	Ngô Quốc Anh on Existence results for the Eins…
	Ngô Quốc Anh on A note on the Sobolev trace…
	doanchi on A note on the Sobolev trace…
	Vuminhtri on MuPAD
	duong on MuPAD
	duong on MuPAD
	duong on MuPAD
	duong on MuPAD
	Ngô Quốc Anh on MuPAD
	duong on MuPAD

Ngô Quốc Anh

October 18, 2007