Ngô Quốc Anh

Tháng Ba 30, 2008

Một số bài tập Giải tích của Khoa Toán đại học Florida

Chuyên mục: Giải Tích 2, Giải Tích 3, Giải Tích 4, Giải Tích 5 — Ngô Quốc Anh @ 12:04

Space

http://www.math.ufl.edu/%7Ehuang/calc2/fall2007.pdf

http://www.math.ufl.edu/%7Ehuang/calc3/fall2007.pdf

Tháng Ba 27, 2008

Liên tục đều vs. Tính khả vi…

Chuyên mục: Các Bài Tập Nhỏ, Giải Tích 1 — Ngô Quốc Anh @ 20:01

Let f be continuous and bounded on \mathbb{R} function such that

\sup\limits_{x\in\mathbb{R}}|f(x + h) - 2f(x) + f(x - h)|\to0,\quad h\to0.

Does it follows that f is uniformly continuous on \mathbb{R}?

Solution. Suppose for example that |f| is bounded and that f is not uniformly continuous. Then one can find \epsilon>0 such that there exists a sequence (x_n,y_n) satisfying |x_n-y_n| \to 0 and |f(x_n)-f(y_n)| \geq \epsilon. Now, take h_n such that

\sup_{x \in \mathbb{R}, |h| \leq h_n } \{f(x-h)-2 f(x)+f(x+h)\} \leq \frac{\epsilon}{n}

So if x_n<y_n satisfies \delta_n = y_n-x_n \leq h_n and f(y_n) \geq f(x_n) + \epsilon, then it is easy to see that:

f(x_n+ (k+1) \delta_n)-f(x_n + k \delta_n) \geq \epsilon (1 - \frac{k}{n})


for 0 \leq k \leq n-1. Hence

f(x_n+ n \delta_n) - f(x_n) \geq \epsilon(\frac{n}{n} + \frac{n-1}{n}+ \ldots + \frac{1}{n})=\frac{(n+1) \epsilon}{2},

which shows that f cannot be bounded, a contradiction.

More. Suppose f continous function on ]a,b[

Suppose there exist C>0 such that

|\frac{f(x+h)+f(x-h)-2f(x)}{h}|\leq C

each time it is possible (in french “chaque fois que cela a un sens”)

1/ prove f is bounded on ]a,b[

2/ Suppose x,x+h \in ]a,b[ with h>0

Prove for any n \in N

|f(x+\frac{h}{2^n})-f(x)|\leq \frac{C.n.h}{2^{n+1}} + \frac{|f(x+h)-f(x)|}{2^n}

Prove there exist C'>0 such that for any d>0 small

\sup_{|x-y|\leq d}|f(x)-f(y)| \leq C'.d.\ln(1/d)

Tháng Ba 22, 2008

Khảo sát sự hội cụ của chuỗi số liên quan đến hàm \sin

Chuyên mục: Các Bài Tập Nhỏ, Giải Tích 4 — Ngô Quốc Anh @ 1:46

Đây là một bài tập khá hay.

Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \sin(\pi(2 + \sqrt {3})^{n}).

Lời giải.

Tháng Ba 19, 2008

Lại là BĐT tích phân

Chuyên mục: Các Bài Tập Nhỏ, Giải Tích 2 — Ngô Quốc Anh @ 0:24

Trong đề chọn đội tuyển OLP’08 của Trường có bài bất đẳng thức tích phân sau:

Cho hàm số f \in C^1([0,1]). Giả sử rằng

\int_0^1 {f\left( x \right)dx} = \int_0^1 {xf\left( x \right)dx} = 1.

Chứng minh

\int_0^1 {\left( {f\left( x \right)} \right)^2 dx} \geqslant 4 \quad , \quad \int_0^1 {x\left( {f'\left( x \right)} \right)^2 dx} \geqslant 4.

Đối với bất đẳng thức thứ 2, có thể tham khảo cách làm tương tự ở đây

http://anhngq.wordpress.com/2008/02/28/bdt-tich-phan/

Đối với bất đẳng thức thứ 1, ta làm như sau: Dễ thấy hàm g(x) = 6x-2 thỏa mãn các điều kiện của bài toán. Chú ý rằng

0 \leqslant \int_0^1 {\left( {f\left( x \right)} \right)^2 dx} - 2\int_0^1 {f\left( x \right)g\left( x \right)dx} + \int_0^1 {\left( {g\left( x \right)} \right)^2 dx} .

Mặt khác

\int_0^1 {f\left( x \right)g\left( x \right)dx} = \int_0^1 {\left( {6x - 2} \right)f\left( x \right)dx} = 4

và

\int_0^1 {\left( {g\left( x \right)} \right)^2 dx} = \int_0^1 {\left( {6x - 2} \right)^2 dx} = 12 - 12 + 4 = 4.

Từ đó suy ra

\int_0^1 {\left( {f\left( x \right)} \right)^2 dx} \geqslant 4.

Tháng Ba 15, 2008

Đề thi chọn đội tuyển OLP’2008 môn Giải tích

Chuyên mục: Đề Thi — Ngô Quốc Anh @ 18:40

Đề thi chọn đội tuyển OLP’2008 môn Giải tích

dethiolp2008truong.pdf

Tháng Ba 12, 2008

Đề thi chọn đội tuyển OLP’2007 môn Giải tích

Chuyên mục: Đề Thi — Ngô Quốc Anh @ 20:20

Đề thi chọn đội tuyển OLP’2007 môn Giải tích

dethiolp2007truong.pdf

Tháng Ba 5, 2008

Đề thi chọn đội tuyển OLP’2006 môn Giải tích

Chuyên mục: Đề Thi — Ngô Quốc Anh @ 2:17

Đề thi chọn đội tuyển OLP’2006 môn Giải tích

dethiolp2006truong.pdf

Blog at WordPress.com.