Ngô Quốc Anh

August 9, 2008

Tính tích phân suy rộng loại I

Filed under: Các Bài Tập Nhỏ, Giải Tích 2, Giải Tích 4 — Ngô Quốc Anh @ 13:16

Tính

\displaystyle \int_{0}^{+\infty}{\frac{e^{-x^2}}{\left(x^2+\frac{1}{2}\right)^2}\; dx}.

Lời giải. Đặt

\displaystyle I(\alpha) = - \int_{0}^{\infty} \frac {e^{ - x^2}}{x^2 + \alpha} \, dx.

Khi đó ta có

\displaystyle\begin{gathered} \int_0^\infty {\frac{{{e^{ - {x^2}}}}}{{{x^2} + \alpha }}} \,dx = \int_0^\infty {{e^{ - {x^2}}}} \int_0^\infty {{e^{ - ({x^2} + \alpha )t}}} \,dtdx \hfill \\\qquad \qquad \qquad \; \,= \int_0^\infty {{e^{ - \alpha t}}} \int_0^\infty {{e^{ - (1 + t){x^2}}}} \,dxdt \hfill \\ \qquad \qquad \qquad \; \,= \int_0^\infty {\frac{{\sqrt \pi }}{2}} \frac{{{e^{ - \alpha t}}}}{{\sqrt {1 + t} }}\,dt, \hfill \\ \end{gathered}

ta thấy

\displaystyle\int_{0}^{\infty} \frac {e^{ - x^2}}{(x^2 + \frac {1}{2})^2} \, dx = I'(\tfrac{1}{2}) = \frac {\sqrt {\pi}}{2} \int_{0}^{\infty} \frac {t}{\sqrt {1 + t}} \, e^{ - \frac {t}{2}} \, dt.

Nhưng

\displaystyle \begin{gathered} \int_0^\infty {\frac{t}{{\sqrt {1 + t} }}} \,{e^{ - \frac{t}{2}}}\,dt = \int_0^\infty {\sqrt {1 + t} } \,{e^{ - \frac{t}{2}}}\,dt - \int_0^\infty {\frac{1}{{\sqrt {1 + t} }}} \,{e^{ - \frac{t}{2}}}\,dt \hfill \\ \qquad \qquad\qquad \qquad= \left[ { - 2\sqrt {1 + t} \,{e^{ - \frac{t}{2}}}} \right]_0^\infty + \int_0^\infty {\frac{1}{{\sqrt {1 + t} }}} \,{e^{ - \frac{t}{2}}}\,dt - \int_0^\infty {\frac{1}{{\sqrt {1 + t} }}} \,{e^{ - \frac{t}{2}}}\,dt \hfill \\ \qquad \qquad\qquad \qquad= 2. \hfill \\\end{gathered}

Vậy

\displaystyle\int_{0}^{\infty} \frac {e^{ - x^2}}{(x^2 + \frac {1}{2})^2} \, dx = \sqrt {\pi}.

About these ads

31 Comments »

  1. hoc phan nay rac roi ưa cac dai ka oi jup em moi
    em chang biet cach lam j.gia su voi 1 bai yeu cau xet su hoi tu cua tich phan suy rong roi tinh neu no hoi tu thi lam the nao ha cac dai ca.em cu tinh binh thuong cai tik phan do roi neu ra kq thi ket luan no hoi tu,neu khong ton tai thi ket luan no phan ki duoc khong ? chi bao jup em nha

    Comment by nguyen thanh nhan — November 13, 2009 @ 16:27

    • Hoàn toàn có thể tính rồi kết luận, ví dụ như \displaystyle\int_1^\infty x^{-2}dx. Tuy nhiên không nhiều tích phân ta có thể tính cụ thể, cách tiếp cận chủ yếu là dùng tiêu chuẩn so sánh, Aben, Dirichlet,…

      Comment by Ngô Quốc Anh — November 13, 2009 @ 18:05

  2. cach qua dai

    Comment by nguyen minh thong — November 28, 2009 @ 17:58

    • Cảm ơn bạn đã comment. Thế minh thong có thể cung cấp lời giải ngắn hơn được không? Để mọi người cùng tham khảo.

      Comment by Ngô Quốc Anh — November 28, 2009 @ 18:03

  3. giai vay ai hieu
    ga wa’

    Comment by nhar — December 3, 2009 @ 9:27

  4. nhieu bai tich phan neu ta tinh thang ra ket qua thi ta khnang dinh do la hoi tu,con ko xac dinh hay vo cung thi do la phan ki…nhung doi voi bai toan viec giai tich phan gap kho khan thi sao?chung ta dung phuong phap so sanh hay tuong duong.toi mong m ujon trang wet nay co the noi ro the nao la diem suy rong hay bat thuong.sach viet v e phan nay qua la triu tuong.kho hieu

    Comment by hoang cuong — December 16, 2009 @ 23:49

    • Bạn nói đúng, nếu chúng ta ước lượng (tính) được các tích phân suy rộng (loại I: cận vô cùng, loại II: cho hàm không bị chặn) thì không bàn làm gì. Nếu không thể thì chỉ có cách đánh giá thông qua các tiêu chuẩn như so sánh (hàm dương), Aben, Dirichlet,…

      Có thể thấy hàm dưới dấu tích phân

      \displaystyle \int_{0}^{+\infty}{\frac{e^{-x^2}}{\left(x^2+\frac{1}{2}\right)^2}\; dx}

      xác định, cận tích phân có liên quan đến +\infty nên đây là tích phân suy rộng loại I. Nói chung có nhiều cách, đây cũng chỉ là một cách mà thôi. Trong blog này, tôi có xu hướng trình bày những cách làm mới lạ, đặc sắc cho những bài cụ thể, nếu bạn cần sự giúp đỡ, tốt nhất là bạn cho bài cụ thể và chúng ta cùng trao đổi ngay tại đây.

      Comment by Ngô Quốc Anh — December 17, 2009 @ 1:00

    • Thêm một chú ý nữa, bài này là tính giá trị cụ thể chứ không phải là khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng nên cách làm sẽ khác.

      Comment by Ngô Quốc Anh — December 17, 2009 @ 1:05

  5. cam on rat nhieu ve nhung de toan.

    Comment by trangvukhtn — January 10, 2010 @ 19:12

  6. co cach nao nhanh nhat de xet xem nen dung cach nao de giai 1bt khi mjh doc de ko hay chi la kjh nghiem thui mong cfac anh chi day them

    Comment by kute — February 25, 2010 @ 8:50

  7. mot so bai toan tinh ratkho hiu tich phan kho that

    Comment by kute — February 25, 2010 @ 8:51

  8. Em chao thầy. Thầy giúp dùm em bài toán này với. Em cám ơn thầy trước.
    BIỆN LUẬN SỰ HỘI TỤ
    I= Tích phân cận từ 3->âm vô cùng của X mũ anphal cộng 3X bình phương -1 chia cho X mũ 4 + x mũ 3 -2X bình phương + 5X + 1

    Comment by phan long giang — May 2, 2010 @ 1:10

    • Chịu thua em, chỗ thì x chỗ thì X chả bít lần kiểu gì, sao ko dùng TeX hoặc chí ít thì viết kiểu (ax^b+c)^d… cho dễ hiểu…

      Comment by Ngô Quốc Anh — May 2, 2010 @ 1:13

  9. vi xet tinh hoi tu hay phan ki nen ta phai xet bac cua tu va bac cua mau
    TH1: xet \alpha = 4-2=2>1 =>hoi tu ( lay bac cao nhat cua mau-bac cao nhat cua tu>
    TH con lai ban tu xet tuong tu

    Comment by lee — November 7, 2010 @ 14:22

  10. cac anh chi oi giup e voi
    may cai tich phan nay e ko nhan dc
    kho qua ak
    chi cho e cach hoc no hieu qua voi.
    e hoc no hoc cau truoc quen cau sau ak`
    nan?qua ak.
    cac anh chi giup e voi.em cam on!!!!!!!!!!!!!!!

    Comment by cau hai di hoc — December 16, 2010 @ 15:28

    • Chào bạn, cảm ơn bạn đã ghé thăm blog. Cách tốt nhất là bạn hãy viết những thắc mắc cụ thể lên đây để mọi người được rõ, ví dụ bài toán nào bạn chưa hiểu, từ đó sẽ có cách giúp bạn.

      Comment by Ngô Quốc Anh — December 16, 2010 @ 19:37

  11. Anh chi nao giai giup em bai nay cai: Tich phân cận từ 0 đến vô cùng của x/(x+1)^3

    Comment by Nguyễn Cảnh An — January 8, 2011 @ 0:42

    • \displaystyle\int_0^{ + \infty } {\frac{x}{{{{(x + 1)}^3}}}dx} = \int_0^{ + \infty } {\frac{{dx}}{{{{(x + 1)}^2}}}} - \int_0^{ + \infty } {\frac{{dx}}{{{{(x + 1)}^3}}}} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}.

      Comment by Ngô Quốc Anh — January 8, 2011 @ 0:49

      • Tôi tính riêng phần tích phân từ 0 tới dương vô cùng của \frac{dx}{(x+1)^{1/2}} thì được nguyên hàm là 1/X với X=x+1, X từ 1 tới dương vô cùng. Vậy có phải giá trị sẽ bằng 0-1=-1 hay không? xin cảm ơn!

        Comment by Ly Trang — April 1, 2014 @ 16:51

      • Không rõ ý của bạn Ly Trang lắm, nhưng nếu cần thì đây là đáp số cho bạn

        \displaystyle \int \frac{dx}{(x+1)^{1/2}}=2\sqrt{x+1},

        và do đó tích phân \int_0^{+\infty} \frac{dx}{(x+1)^{1/2}} phải phân kỳ.

        Comment by Ngô Quốc Anh — April 1, 2014 @ 18:26

  12. Anh a! Nếu mà xét sự hội tụ của bài nay thì làm ntn a: Tich phân của x/căn(cosx) cận từ 0 đến pi/2
    Em cảm ơn nhiều vì những người đam mê học toán!

    Comment by Nguyễn Cảnh An — January 8, 2011 @ 0:59

  13. :x hay quá đi…nhưng mình ko hiểu:”> lại đang cần>”<

    Comment by sunflower — September 22, 2011 @ 23:23

  14. mih get tik fan get toan cao cap…hixhix

    Comment by zit con — December 12, 2011 @ 17:15

  15. Ko wa e oi.

    Comment by Huy — December 14, 2011 @ 23:38

  16. tai sao cac ban khong tinh theo gioi han lim y,cach do rat hay

    Comment by chung quat — December 19, 2011 @ 11:08

  17. anh a.anh jai giup em kon tick phan nay voi a.
    \displaystyle\int_0^3\frac{dx}{x\sqrt{1+x^5+x^{10}}}
    em k.on a

    Comment by kvan — December 20, 2011 @ 11:59

    • Có bạn nào ra tay giúp bài kvan với bài toán trên không?

      Comment by Ngô Quốc Anh — December 20, 2011 @ 12:09

  18. don gian qua a.thoi a, vi em chi mun xem cach jai de tim ra phuong phap cho loai toan nay.chu jo em kung chua hiu j ve tjck phan nay ka

    Comment by kvan — December 21, 2011 @ 16:58

  19. anh chi oi giup em tinh tich phan suy rong loai 1: tich phan tu 0 den duong vo cung cua arctanX
    /(1+X^2)^(3/2)

    Comment by mua thu — December 25, 2011 @ 13:57

  20. sao tích phân suy rộng khó thế ạ. em học mãi mà vẫn không hiểu

    Comment by nguyễn sang — May 25, 2013 @ 22:21

    • Hi em, có thể nó ko quá khó như em tưởng tượng đâu, chỉ có điều hơi kỹ thuật một chút. Dạng bài tập thì cũng ko có nhiều, chỉ là các bài khảo sát sự hội tụ thôi mà. Ở trình độ cao hơn như vận dụng tich phân suy rộng, tích phân phụ thuộc tham số để làm những việc khác thì có lắt léo hơn.

      Comment by Ngô Quốc Anh — May 25, 2013 @ 22:35


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

The Shocking Blue Green Theme. Blog at WordPress.com.

Follow

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 37 other followers

%d bloggers like this: