Một số bài tập Giải tích của Khoa Toán đại học Florida

http://www.math.ufl.edu/%7Ehuang/calc2/fall2007.pdf

http://www.math.ufl.edu/%7Ehuang/calc3/fall2007.pdf

Steinmetz Solid

The solid common to two (or three) right circular cylinders of equal radii intersecting at right angles is called the Steinmetz solid. Two cylinders intersecting at right angles are called a bicylinder, and three intersecting cylinders a tricylinder. Half of a bicylinder is called a vault.

For two cylinders of radius oriented long the - and -axes gives the equations

(1)

(2)

which can be solved for and gives the parametric equations of the edges of the solid,

			(3)
			(4)

The surface area can be found as , where

			(5)
			(6)

Taking the range of integration as a quarter or one face and then multiplying by 16 gives

(7)

The volume common to two cylinders was known to Archimedes (Heath 1953, Gardner 1962) and the Chinese mathematician Tsu Ch’ung-Chih (Kiang 1972), and does not require calculus to derive. Using calculus provides a simple derivation, however. Noting that the solid has a square cross section of side-half-length , the volume is given by

(8)

(Moore 1974). The volume can also be found using cylindrical algebraic decomposition, which reduces the inequalities

(9)

to

(10)

giving the integral

(11)

If the two right cylinders are of different radii and with , then the volume common to them is

(12)

where is the complete elliptic integral of the first kind, is the complete elliptic integral of the second kind, and is the elliptic modulus.

The curves of intersection of two cylinders of radii and , shown above, are given by the parametric equations

			(13)
			(14)
			(15)

(Gray 1997, p. 204).

The volume common to two elliptic cylinders

(16)

with is

(17)

where (Bowman 1961, p. 34).

For three cylinders of radii intersecting at right angles, The resulting solid has 12 curved faces. If tangent planes are drawn where the faces meet, the result is a rhombic dodecahedron (Wells 1991). The volume of intersection can be computed in a number of different ways,

			(18)
			(19)
			(20)

(Moore 1974). According to the protagonist Christopher in the novel The Curious Incident of the Dog in the Night-Time, “…People go on holidays to see new things and relax, but it wouldn’t make me relaxed and you can see new things by looking at earth under a microscope or drawing the shape of the solid made when 3 circular rods of equal thickness intersect at right angles” (Haddon 2003, p. 178), which is of course precisely the Steinmetz solid formed by three symmetrically placed cylinders.

Four cylinders can also be placed with axes along the lines joining the vertices of a tetrahedron with the centers on the opposite sides. The resulting solid of intersection has volume

(21)

and 24 curved faces analogous to a cube-octahedron compound (Moore 1974, Wells 1991).

Six cylinders can be placed with axes parallel to the face diagonals of a cube. The resulting solid of intersection has volume

(22)

and 36 curved faces, 24 of which are kite-shaped and 12 of which are rhombic (Moore 1974).

Nguồn: http://mathworld.wolfram.com/SteinmetzSolid.html

Tính đối xứng trong tích phân mặt loại I

Why is for being the unit sphere.

,

by rotational symmetry of the sphere. The integral is

.

And the easiest way to find (should you want to) is again by symmetry

,

hence .

Đề thi giữa kỳ GT5 của K51 Toán Tin A2

ktgk_k51-a2_gt5_2.pdf

Đề thi giữa kỳ GT5 của K51 Toán Tin A3

Mới thi sáng nay. 

Đề thi: ktgk_k51-a3_gt5_2.pdf

Đáp án:

 

Tích phân bội liên quan đến hàm max – kết quả tuyệt đẹp

Có hai kết quả sau khá hay và đẹp (với sự giúp đỡ của TS. Đ.A. Tuấn)

Trong trường hợp 2 chiều

.

còn trong 3 chiều thì

.

Dự đoán trong trường hợp n chiều thì kết quả sẽ là

.

Lá Möbius – Mặt một phía

Khi học sang tích phân Mặt loại II ta sẽ biết đến khái niệm mặt một phía và mặt hai phía. Một ví dụ kinh điển về mặt một phía là lá Mobius sau.

Ví dụ sau đây cũng liên quan đến mặt một phía.

Các bạn có thể đọc chi tiết các thông tin này ở đây http://en.wikipedia.org/wiki/M%C3%.B6bius_strip

Đường cong Viviani

Trong phần bài tập về tích phân đường loại II, tôi sẽ cho các bạn làm thêm 1 bài tập có liên quan đến đường cong Viviani. Thế đây là đường cong gì. Về mặt toán học, đường cong Viviani xác định bởi giao của mặt cầu  với mặt trụ . Về mặt hình học, chúng ta có thể vẽ mô tả đường cong này như sau

 

Bài tập mà tôi muốn các bạn làm là tính tích phân sau  lấy theo đường cong Viviani V nói ở trên.

GT5 – Bài Tập 10

Lấy bài tập ở đây: 10.pdf

GT5 – Bài Tập 09

Lấy bài tập ở đây: 09.pdf