Ngô Quốc Anh

August 28, 2007

BĐT tích phân liên quan đến bài toán đẳng chu

Filed under: Linh Tinh — Ngô Quốc Anh @ 16:55

Giả sử f là hàm dương và liên tục, khi đó ta có bđt sau

\left({\int_{0}^{\pi}{\sqrt{f^{2}\left(\theta\right)+f

BĐT này liên quan đến bài toán đẳng chu, về bài toán này xin xem ở đây. Sở dĩ có thể nói được như vậy vì thực ra đây chính là kết quả: trong tất cả các đường cong kín có cùng độ dài, đường tròn sẽ giới hạn một miền có diện tích lớn nhất.Có thể thấy điều này dễ dàng vì trong tọa độ cực, đại lượng

\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}{f^{2}\left(\theta\right)d\theta }

chính là diện tích của miền bị giới hạn bởi đường cong. Ngoài ra đại lượng

{\int_{0}^{\pi}{\sqrt{f^{2}\left(\theta\right)+f'^{2}\left(\theta\right)}d\theta }}

chính là độ dài của đường cong đó.

Hiện tôi chưa biết 1 lời giải hoàn toàn giải tích nào..

GT5 – Bài Tập 06

Filed under: Giải Tích 5 — Ngô Quốc Anh @ 16:43

Đây là phần bài tập quan trọng nhất. Tôi đã soạn ra ở đây gần 40 bài tập với rất nhiều dạng và nhiều kiểu tiếp cận rất khác nhau. Không yêu cần các bạn phải làm hết, tuy nhiên bài nào chữa thì cần phải hiểu thấu đáo. Các bạn cũng có thể bàn luận bài tập ở chủ đề này hoặc gặp trực tiếp tôi sau giờ học ở phòng 305 nhà T3, Thượng Đình.

Lấy bài tập ở đây: 06.pdf

Sau khi học xong phần tích phân bội này, điều đó cho thấy chúng ta đã đi được 1 phần 2 quãng đường rồi đấy…

GT5 – Bài Tập 05

Filed under: Giải Tích 5 — Ngô Quốc Anh @ 16:31

 Việc tính tích phân bội bắt đầu bằng việc sử dụng thành thạo định lý Fubini và các phép đổi biến. Ta sẽ luyện tập một số bài đơn giản về định lý Fubini.

Lấy bài tập ở đây: 05.pdf

GT5 – Bài Tập 04

Filed under: Giải Tích 5 — Ngô Quốc Anh @ 16:30

 Phần bài tập này tương đối khó và lạ đối với sinh viên, tôi chọn chủ đề là tích phân trên miền tổng quát như giáo trình.

 Lấy bài tập ở đây: 04.pdf

GT5 – Bài Tập 03

Filed under: Giải Tích 5 — Ngô Quốc Anh @ 16:28

Ta sẽ tiếp tục nghiên cứu tính khả tích bằng cách sử dụng tiêu chuẩn khả tích Lebesgue, ta sẽ làm quen với khái niệm tập hợp có độ đo không. Phần sau ta sẽ biết thế nào là một tập đo được Jordan, độ đo Jordan của 1 tập hợp.

 Lấy bài tập ở đây: 03.pdf

GT5 – Bài Tập 02

Filed under: Giải Tích 5 — Ngô Quốc Anh @ 16:26

Phần bài tập đầu tiên của môn học GT5 liên quan đến việc khảo sát tính khả tích của các hàm.

 Lấy bài tập ở đây: 02.pdf

GT5 – Bài Tập 01

Filed under: Giải Tích 5 — Ngô Quốc Anh @ 16:19

Chào tất cả mọi người, chúng ta sẽ bắt đầu môn học GT5 bằng việc ôn tập lại cách tính tích phân 1 lớp, cách khảo sát tính khả tích và 1 vài bài tập sẽ có ích về sau.

Lấy bài tập ở đây: 01.pdf

Sử dụng Tích phân xác định tính tổng vô hạn

Filed under: Các Bài Tập Nhỏ — Ngô Quốc Anh @ 16:15

Đề bài: Chứng minh hệ thức

\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}\;\frac{1}{m^{2}n+2mn+mn^{2}}\;\;=\;\;\boxed{\frac{7}{4}}

Lời giải:

More generally, let k be a natural number. Then

\sum_{m_{1},m_{2},\cdots, m_{n}\geq 1}\frac{1}{m_{1}\cdots m_{n}(m_{1}+m_{2}+\cdots+m_{n}+k)}=

            =(-1)^{n}\int_{0}^{1}x^{k-1}\ln^{n}(1-x)dx.

We have that

S=\sum\frac{1}{m_{1}\cdots m_{n}}\int_{0}^{1}x^{m_{1}+\cdots+m_{n}+k-1}dx

=\int_{0}^{1}x^{k-1}\sum_{m_{1}}\frac{x^{m_{1}}}{m_{1}}\cdots\sum_{m_{n}}\frac{x^{m_{n}}}{m_{n}}dx      

=\int_{0}^{1}x^{k-1}\left(\ln\frac{1}{1-x}\right)^{n}dx                   

=\int_{0}^{1}(-1)^{n}(1-x)^{k-1}\ln^{n}(x)dx.           

When n=2 and k=2 we get that the sum equals

\int_{0}^{1}(1-x)\ln^{2}(x)dx=\frac{7}{4}

.

August 24, 2007

Thông tin về môn học Giải tích 5

Filed under: Giải Tích 5 — Ngô Quốc Anh @ 16:27

Chúng ta sẽ học GT5 trong cả học kỳ I của năm thứ HAI. Nội dung chính của môn học là nghiên cứu, tính toán các tích phân nhiều lớp (là mở rộng tự nhiên của tích phân xác định-tích phân một lớp-trong chương trình GT2).

 Môn học được chia làm 02 phần

  • Tích phân BỘI

    Gồm có tích phân từ 2, 3 đến n lớp. Chúng ta sẽ được học các khái niệm, tính chất và đặc biệt là cách tính tích phân dạng này. Bài tập chủ yếu sẽ chỉ xoay quanh việc tính tích phân 2 và 3 lớp mà thôi. Tôi nhấn mạnh ở đây là CHỦ YẾU chứ không phải là TẤT CẢ.

  • Tích phân ĐƯỜNG, tích phân MẶT, MỐI LIÊN HỆ giữa chúng

    Phần này quan trọng và khó.

Chúc tất cả các bạn học tập tốt môn học này.

Bắt đầu soạn bài tập Giải tích 5

Filed under: Linh Tinh — Ngô Quốc Anh @ 16:12

Hôm nay ta chính thức bắt đầu soạn bài tập Giải tích 5, không giống như 02 năm rồi, kể từ năm nay, mỗi tuần các SV sẽ được nhận 01 tờ bài tập gồm có vài bài tập lớn để chuẩn bị cho buổi học tiếp theo. Sẽ có yêu cầu làm và nộp một số bài tập lớn trong mỗi tờ bài tập, cụ thể như thế nào còn chưa tính.

Vì năm nay chuyển sang hình thức TÍN CHỈ nên vất vả quá, được cái dạy khỏe re…

Blog at WordPress.com.