Ngô Quốc Anh

August 28, 2007

BĐT tích phân liên quan đến bài toán đẳng chu

Filed under: Linh Tinh — Ngô Quốc Anh @ 16:55

Giả sử f là hàm dương và liên tục, khi đó ta có bđt sau

\left({\int_{0}^{\pi}{\sqrt{f^{2}\left(\theta\right)+f

BĐT này liên quan đến bài toán đẳng chu, về bài toán này xin xem ở đây. Sở dĩ có thể nói được như vậy vì thực ra đây chính là kết quả: trong tất cả các đường cong kín có cùng độ dài, đường tròn sẽ giới hạn một miền có diện tích lớn nhất.Có thể thấy điều này dễ dàng vì trong tọa độ cực, đại lượng

\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}{f^{2}\left(\theta\right)d\theta }

chính là diện tích của miền bị giới hạn bởi đường cong. Ngoài ra đại lượng

{\int_{0}^{\pi}{\sqrt{f^{2}\left(\theta\right)+f'^{2}\left(\theta\right)}d\theta }}

chính là độ dài của đường cong đó.

Hiện tôi chưa biết 1 lời giải hoàn toàn giải tích nào..

GT5 – Bài Tập 06

Filed under: Giải Tích 5 — Ngô Quốc Anh @ 16:43

Đây là phần bài tập quan trọng nhất. Tôi đã soạn ra ở đây gần 40 bài tập với rất nhiều dạng và nhiều kiểu tiếp cận rất khác nhau. Không yêu cần các bạn phải làm hết, tuy nhiên bài nào chữa thì cần phải hiểu thấu đáo. Các bạn cũng có thể bàn luận bài tập ở chủ đề này hoặc gặp trực tiếp tôi sau giờ học ở phòng 305 nhà T3, Thượng Đình.

Lấy bài tập ở đây: 06.pdf

Sau khi học xong phần tích phân bội này, điều đó cho thấy chúng ta đã đi được 1 phần 2 quãng đường rồi đấy…

GT5 – Bài Tập 05

Filed under: Giải Tích 5 — Ngô Quốc Anh @ 16:31

 Việc tính tích phân bội bắt đầu bằng việc sử dụng thành thạo định lý Fubini và các phép đổi biến. Ta sẽ luyện tập một số bài đơn giản về định lý Fubini.

Lấy bài tập ở đây: 05.pdf

GT5 – Bài Tập 04

Filed under: Giải Tích 5 — Ngô Quốc Anh @ 16:30

 Phần bài tập này tương đối khó và lạ đối với sinh viên, tôi chọn chủ đề là tích phân trên miền tổng quát như giáo trình.

 Lấy bài tập ở đây: 04.pdf

GT5 – Bài Tập 03

Filed under: Giải Tích 5 — Ngô Quốc Anh @ 16:28

Ta sẽ tiếp tục nghiên cứu tính khả tích bằng cách sử dụng tiêu chuẩn khả tích Lebesgue, ta sẽ làm quen với khái niệm tập hợp có độ đo không. Phần sau ta sẽ biết thế nào là một tập đo được Jordan, độ đo Jordan của 1 tập hợp.

 Lấy bài tập ở đây: 03.pdf

GT5 – Bài Tập 02

Filed under: Giải Tích 5 — Ngô Quốc Anh @ 16:26

Phần bài tập đầu tiên của môn học GT5 liên quan đến việc khảo sát tính khả tích của các hàm.

 Lấy bài tập ở đây: 02.pdf

GT5 – Bài Tập 01

Filed under: Giải Tích 5 — Ngô Quốc Anh @ 16:19

Chào tất cả mọi người, chúng ta sẽ bắt đầu môn học GT5 bằng việc ôn tập lại cách tính tích phân 1 lớp, cách khảo sát tính khả tích và 1 vài bài tập sẽ có ích về sau.

Lấy bài tập ở đây: 01.pdf

Sử dụng Tích phân xác định tính tổng vô hạn

Filed under: Các Bài Tập Nhỏ — Ngô Quốc Anh @ 16:15

Đề bài: Chứng minh hệ thức

\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}\;\frac{1}{m^{2}n+2mn+mn^{2}}\;\;=\;\;\boxed{\frac{7}{4}}

Lời giải:

More generally, let k be a natural number. Then

\sum_{m_{1},m_{2},\cdots, m_{n}\geq 1}\frac{1}{m_{1}\cdots m_{n}(m_{1}+m_{2}+\cdots+m_{n}+k)}=

            =(-1)^{n}\int_{0}^{1}x^{k-1}\ln^{n}(1-x)dx.

We have that

S=\sum\frac{1}{m_{1}\cdots m_{n}}\int_{0}^{1}x^{m_{1}+\cdots+m_{n}+k-1}dx

=\int_{0}^{1}x^{k-1}\sum_{m_{1}}\frac{x^{m_{1}}}{m_{1}}\cdots\sum_{m_{n}}\frac{x^{m_{n}}}{m_{n}}dx      

=\int_{0}^{1}x^{k-1}\left(\ln\frac{1}{1-x}\right)^{n}dx                   

=\int_{0}^{1}(-1)^{n}(1-x)^{k-1}\ln^{n}(x)dx.           

When n=2 and k=2 we get that the sum equals

\int_{0}^{1}(1-x)\ln^{2}(x)dx=\frac{7}{4}

.

Create a free website or blog at WordPress.com.