Ngô Quốc Anh

September 30, 2007

GT5 – Bài Tập 10

Filed under: Giải Tích 5 — Ngô Quốc Anh @ 18:09

Lấy bài tập ở đây: 10.pdf

GT5 – Bài Tập 09

Filed under: Giải Tích 5 — Ngô Quốc Anh @ 18:08

Lấy bài tập ở đây: 09.pdf

GT5 – Bài Tập 08

Filed under: Giải Tích 5 — Ngô Quốc Anh @ 18:02

Lấy bài tập ở đây: 08.pdf

GT5 – Bài Tập 07

Filed under: Giải Tích 5 — Ngô Quốc Anh @ 18:00

Lấy bài tập ở đây: 07.pdf

GT2 – Bài Tập 05

Filed under: Giải Tích 2 — Ngô Quốc Anh @ 17:22

Lấy bài tập ở đây: gt2-05.pdf

Hyperbolic functions on plane

Filed under: Linh Tinh — Ngô Quốc Anh @ 10:07

Minh họa các hàm lượng giác và các hàm hyperbolic trên mặt phẳng tọa độ.

Animated plot of the trigonometric (circular) and hyperbolic functions. In red, curve of equation x^2 + y^2 = 1 (unit circle), and in blue, x^2- y^2 = 1 (equilateral hyperbola), with the points (\cos (\theta),\sin (\theta)) and (1,\tan(\theta)) in red and (\cosh(\theta), \sinh (\theta)) and (1,\tanh (\theta)) in blue.

Nguồn: http://en.wikipedia.org/wiki/Image:HyperbolicAnimation.gif

GT2 – Bài Tập 04

Filed under: Giải Tích 2 — Ngô Quốc Anh @ 9:42

Trong mục này chúng ta có một số bài tập liên quan đến ứng dụng của tích phân xác định như tính diện tích, thể tích, độ dài đường cong. Các đường cong trong bài tập là những đường cong đặc biệt, trong phần cuối bài tập tôi đã vẽ minh họa các đường cong này. Tuy nhiên ở đây tôi sẽ mô tả ý nghĩa hình học của chúng.

Đường cong Cycloid thực tế là sự chuyển động của 1 điểm cố định trên bánh xe khi bánh xe chuyển động. Các bạn có thể theo dõi ở hình vẽ dưới đây.

CycloidAnim04.gif

Đường cong Cardioid (đường hình tim) được mô tả như hình vẽ sau

Một vài dạng thường gặp là

Đường cong Lemniscate được thể hiện như hình vẽ dưới

Đường cong xoán Archimedean được thể hiện như sau

Two moving spirals scroll pump.gif

Lá Descartes được thể hiện như sau

Đường cong Astroid (đường hình sao) mô tả chuyển động như hình vẽ dưới

Astroid01.gif

Khi tỷ lệ k giữa hai bán kính thay đổi ta có rất nhiều đường cong như dưới đây

 Các bạn có thể tìm hiểu thêm thông tin về rất rẩt nhiều đường cong khác ở đây  http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_curves.

Lấy bài tập ở đây: gt2-04.pdf

GT2 – Bài Tập 03

Filed under: Giải Tích 2 — Ngô Quốc Anh @ 9:40

Lấy bài tập ở đây: gt2-03.pdf

1 bài tập khó về dãy số

Filed under: Các Bài Tập Nhỏ, Giải Tích 1, Giải Tích 4 — Ngô Quốc Anh @ 8:26

Suppose that a_{n} and b_{n} are two sequences of nonnegative numbers such that for some real number N_{0}\geq 1, the following recursion inquality holds: a_{n+1}\le{a_{n}+b_{n}}, for any n\ge N_{0}. Prove that if \sum b_{n}<\infty , then a_{n} is converges.

Solution. Since

\displaystyle\begin{gathered}a_{n+1}\leqslant a_{n}+b_{n}\hfill\\ a_{n+2}\leqslant a_{n+1}+b_{n+1}\leqslant a_{n}+\left({b_{n}+b_{n+1}}\right)\hfill\\ ...\hfill\\ \end{gathered}

then

\displaystyle a_m \leqslant a_n + \sum\limits_{k = n}^{m - 1} {b_k } \leqslant a_n + \sum\limits_{k = n}^{ + \infty } {b_k }

provided m \geq n+1. Now taking the \limsup with respect to m we have

\displaystyle \mathop {\lim \sup }\limits_{m \to + \infty } a_m - \sum\limits_{k = n}^{ + \infty } {b_k } \leqslant a_n.

Now consider the \liminf with respect to n we deduce

\displaystyle\mathop {\lim \sup }\limits_{m \to + \infty } a_m \leqslant \mathop {\lim \sup }\limits_{m \to + \infty } a_m - \mathop {\lim \inf }\limits_{n \to + \infty } \sum\limits_{k = n}^{ + \infty } {b_k } \leqslant \mathop {\lim \inf }\limits_{n \to + \infty } a_n

since \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sum\limits_{k = n}^{+ \infty } {b_k } = 0. This and the fact that

\displaystyle \mathop {\lim \sup }\limits_{m \to + \infty } a_m \geqslant \mathop {\lim \inf }\limits_{n \to + \infty } a_n

yields the conclusion.

Tính tổng của 1 chuỗi

Filed under: Các Bài Tập Nhỏ, Giải Tích 4 — Ngô Quốc Anh @ 6:49

Tính

\displaystyle S = \sum_{n=0}^{+ \infty}\frac{(3n)!}{(3n+3)!} = \sum_{n=0}^{+ \infty}\frac{1}{(3n+1)(3n+2)(3n+3)}.

Lời giải. Làm như sau

\displaystyle\begin{gathered}S = \frac{1}{{1\cdot2\cdot3}} + \frac{1}{{4\cdot5\cdot6}} + \frac{1}{{7\cdot8\cdot9}} +\cdots\hfill \\ \quad= \sum\limits_{n = 0}^\infty{\frac{1}{{(3n + 1)(3n + 2)(3n + 3)}}}\hfill \\ \quad= \frac{1}{2}\sum\limits_{n = 0}^\infty{\left( {\frac{1}{{3n + 1}} - \frac{2}{{3n + 2}} + \frac{1}{{3n + 3}}} \right)}\hfill \\ \quad= \frac{1}{2}\sum\limits_{n = 0}^\infty{\left( {\left[ {\frac{1}{{3n + 1}} - \frac{1}{{3n + 2}}} \right] + \left[ { - \frac{1}{{3n + 2}} + \frac{1}{{3n + 3}}} \right]} \right)}\hfill \\ \quad= \frac{1}{2}\left( {\left[ {1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} + \frac{1}{7} - \frac{1}{8} +\cdots } \right] + \left[ { - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{6} - \frac{1}{8} + \frac{1}{9} -\cdots } \right]} \right) \hfill \\ \quad= \frac{1}{2}\left( {\left[ {\int_0^1 {\frac{{1 - x}}{{1 - {x^3}}}} dx} \right] + \left[ {\int_0^1 {\frac{{ - x + {x^2}}}{{1 - {x^3}}}} dx} \right]} \right) \hfill \\ \quad= \frac{1}{2}\left( {\int_0^1 {\frac{{1 - x}}{{1 + x + {x^2}}}} dx} \right) \hfill \\ \quad= \frac{1}{2}\left( {\frac{\pi }{{2\sqrt 3 }} - \frac{1}{2}\ln 3} \right). \hfill \\ \end{gathered}

Bài tập tương tự: Tính

\displaystyle S=\left(\frac{0!}{3!}\right)^2+\left(\frac{3!}{6!}\right)^2+\left(\frac{6!}{9!}\right)^2+\cdots.

Older Posts »

Blog at WordPress.com.