Lấy bài tập ở đây: 10.pdf
September 30, 2007
Hyperbolic functions on plane
Minh họa các hàm lượng giác và các hàm hyperbolic trên mặt phẳng tọa độ.
Animated plot of the trigonometric (circular) and hyperbolic functions. In red, curve of equation (unit circle), and in blue,
(equilateral hyperbola), with the points
and
in red and
and
in blue.
Nguồn: http://en.wikipedia.org/wiki/Image:HyperbolicAnimation.gif
GT2 – Bài Tập 04
Trong mục này chúng ta có một số bài tập liên quan đến ứng dụng của tích phân xác định như tính diện tích, thể tích, độ dài đường cong. Các đường cong trong bài tập là những đường cong đặc biệt, trong phần cuối bài tập tôi đã vẽ minh họa các đường cong này. Tuy nhiên ở đây tôi sẽ mô tả ý nghĩa hình học của chúng.
Đường cong Cycloid thực tế là sự chuyển động của 1 điểm cố định trên bánh xe khi bánh xe chuyển động. Các bạn có thể theo dõi ở hình vẽ dưới đây.
Đường cong Cardioid (đường hình tim) được mô tả như hình vẽ sau
Một vài dạng thường gặp là
Đường cong Lemniscate được thể hiện như hình vẽ dưới
Đường cong xoán Archimedean được thể hiện như sau
Lá Descartes được thể hiện như sau
Đường cong Astroid (đường hình sao) mô tả chuyển động như hình vẽ dưới
Khi tỷ lệ k giữa hai bán kính thay đổi ta có rất nhiều đường cong như dưới đây
k=3 – a deltoid |
k=4 – an astroid |
k=5 |
k=6 |
k=2.1 |
k=3.8 |
k=5.5 |
k=7.2 |
Các bạn có thể tìm hiểu thêm thông tin về rất rẩt nhiều đường cong khác ở đây http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_curves.
Lấy bài tập ở đây: gt2-04.pdf
1 bài tập khó về dãy số
Suppose that and
are two sequences of nonnegative numbers such that for some real number
, the following recursion inquality holds:
, for any
. Prove that if
, then
is converges.
Solution. Since
then
provided . Now taking the
with respect to
we have
.
Now consider the with respect to
we deduce
since . This and the fact that
yields the conclusion.