Ngô Quốc Anh

September 4, 2007

Đẳng thức tích phân ln của hàm cosin

Filed under: Các Bài Tập Nhỏ — Ngô Quốc Anh @ 18:44

Câu hỏi: Vì sao 

\int_{0}^{\pi}\ln(1-2\alpha\cos x+\alpha^{2})\, dx = 0\quad\text{for}\quad 0 <\alpha < 1

Trả lời: For

0 <\rho < 1\quad\sum_{k = 1}^{\infty}\frac{(\varrho e^{i\varphi})^{k}}{k}=-\ln(1-\varrho e^{i\varphi}) =-\ln(1-\varrho\cos\varphi-i\varrho\sin\varphi)

Compare the real parts:

\sum_{k = 1}^{\infty}\frac{\varrho^{k}\cos k\varphi}{k}=-\ln\sqrt{(1-\varrho\cos\varphi)^{2}+(\varrho\sin\varphi)^{2}}=-\frac{1}{2}\ln(1-2\varrho\cos\varphi+\varrho^{2})

and integrate from 0 to \pi with respect to \varphi

\sum_{k = 1}^{\infty}\frac{\varrho^{k}}{k}\underbrace{\int_{0}^{\pi}\cos k\varphi\, d\varphi}_{ = 0}=-\frac{1}{2} I\Rightarrow I = 0

do đó có kết quả cần tính.Ví dụ với \alpha cụ thể

\alpha =\frac{1}{2}\qquad\int_{0}^{\pi}\ln\left(\frac{5}{4}-\cos x\right) dx = 0

 

Bây giờ thử chứng minh tại sao

\int_{0}^{\pi}\;\;\frac{x\cdot\sin x}{\frac{5}{4}\;-\;\cos x}\;\;\textbf dx\;\;=\;\;\boxed{2\pi\cdot\ln\left(\frac{3}{2}\right)}

Cụ thể làm thế này: sử dụng tích phân từng phần

\int_{0}^{\pi}x\cdot\frac{\sin x}{\frac{5}{4}-\cos x}dx =\underbrace{\left[x\cdot\ln\left(\frac{5}{4}-\cos x\right)\right]_{0}^{\pi}}_{ =\pi\ln\left(\frac{9}{4}\right)}-\underbrace{\int_{0}^{\pi}\ln\left(\frac{5}{4}-\cos x\right) dx}_{ = 0}

Vậy có điều phải chứng minh.

Leave a Comment »

No comments yet.

RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

Blog at WordPress.com.

%d bloggers like this: