Ngô Quốc Anh

September 7, 2007

Giới hạn kép

Filed under: Giải Tích 3 — Ngô Quốc Anh @ 22:55

Đề bài. Tính các giới hạn kép sau đây

\lim_{(x,y,z)\to(0,0,0)}\;\;\frac{x+y+z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}} 

\lim_{(x,y,z)\to(0,0,0)}\;\;\frac{xy+yz+zx}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}

\lim_{(x,y,z)\to(0,0,0)}\;\;\frac{xyz}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}

Lời giải. ..

“Tích phân suy rộng” vs. “Giải tích phức”

Filed under: Linh Tinh — Ngô Quốc Anh @ 19:28

Với mọi số phức z với phần thực dương ta luôn có

\displaystyle\int_{0}^{\infty}\frac{\cos x-e^{-zx}}{x}dx =\ln z .

Ta sẽ sử dụng đẳng thức này để tính các tích phân suy rộng

\displaystyle \int_0^\infty \frac{{{e^{ - ax}}-{e^{ - bx}}}}{{x \sec (px)}}dx =\boxed{\frac{1}{2}\ln \left( {\frac{{{b^2} + {p^2}}}{{{a^2} + {p^2}}}} \right)}

và

\displaystyle \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-a x}-e^{-b x}}{x \csc (px)}dx = \boxed{\arctan\left(\frac{b}{p}\right)-\arctan\left(\frac{a}{p}\right)}.

Lời giải. Ta thấy

\displaystyle \int_{0}^{\infty}\frac{e^{-(a-ip)x}-e^{-(b-ip)x}}{x}dx =\ln (b-ip)-\ln(a-ip)

và

\displaystyle \int_{0}^{\infty}\frac{(e^{-ax}-e^{-bx})e^{ipx}}{x}dx=\ln\sqrt{b^{2}+p^{2}}+i\arctan\left(-\frac{p}{b}\right)-\ln\sqrt{a^{2}+p^{2}}-i\arctan\left(-\frac{p}{a}\right).

Do đó

\displaystyle \int_{0}^{\infty}\frac{(e^{-ax}-e^{-bx})e^{ipx}}{x}dx =\ln\sqrt{\frac{b^{2}+p^{2}}{a^{2}+p^{2}}}+i\left[\left(-\frac{\pi}{2}+\arctan\frac{b}{p}\right)-\left(-\frac{\pi}{2}+\arctan\frac{a}{p}\right)\right].

Sử dụng công thức

\displaystyle e^{ipx}=\frac{1}{\sec (px)}+i\frac{1}{\csc (px)}

sau đó so sánh phần thực và phần ảo hai vế có ngay đáp số cần tìm.

Bài tập nhỏ về bất đẳng thức đạo hàm

Filed under: Các Bài Tập Nhỏ — Ngô Quốc Anh @ 19:21

Let f be a differentiable real valued function with f(0) = 0 which satisfies f'(x) > f(x) for all x\in\mathbb{R}. Prove that f(x) > 0 for all x > 0.

Solution. We have

(e^{-x}f)' = e^{-x}f'-e^{-x}f > 0.

Thus e^{-x}f is strictly increasing. In particular, e^{-x}f(x) > e^{-0}f(0) = 0 for all x > 0. Thus f(x) > 0 for all x > 0.

The Glaeser inequality

Filed under: Các Bài Tập Nhỏ, PDEs — Tags: — Ngô Quốc Anh @ 1:39

Bất đẳng thức Glaeser cổ điển phát biểu cho hàm u thuộc lớpC^2 định nghĩa trong(-R, R) như sau:

Định lý. Giả sử \left| {\ddot u} \right| \leq M. Khi đó ta có

\left| {\dot u}(0) \right| \leq \sqrt {2u\left( 0 \right)M} nếu M \geq \frac{{2u\left( 0 \right)}}{{R^2 }}

và

\left| {\dot u} (0) \right| \leq \frac{{u\left( 0 \right)}}{R} + \frac{R}{2}M nếu M \geq \frac{{2u\left( 0 \right)}}{{R^2 }}.

Sau đây chúng ta cùng xét một mở rộng của bất đẳng thức trên trong trường hợp nhiều chiều.

Định lý. Giả sử \max|\Delta u|=M. Khi đó tồn tại một hằng số C chỉ phụ thuộc vào số chiều n sao cho

| \Delta u(x) | \leq C \sqrt{u(0) M} nếu R \geq \sqrt{\frac{u(0)}{M}} \geq 2|x|

và

| \Delta u(x) | \leq C \Big( \frac{u(0)}{R} + RM \Big) nếu 2|x| \leq R \leq \sqrt{\frac{u(0)}{M}}.

Câu hỏi mở. Hằng số tốt nhất khix=0 trong trường hợp nhiều chiều là bao nhiêu?

Tất cả các chứng minh của các bất đẳng thức nêu trên cũng như những mở rộng khác đều có trong bài báo dưới đây của Yan Yan Li và Louis Nirenberg.

~~>  generalization-of-a-well-known-inequality.pdf

Blog at WordPress.com.