Đề bài. Tính các giới hạn kép sau đây
Lời giải. ..
Với mọi số phức với phần thực dương ta luôn có
.
Ta sẽ sử dụng đẳng thức này để tính các tích phân suy rộng
và
.
Lời giải. Ta thấy
và
.
Do đó
.
Sử dụng công thức
sau đó so sánh phần thực và phần ảo hai vế có ngay đáp số cần tìm.
Let be a differentiable real valued function with
which satisfies
for all
. Prove that
for all
.
Solution. We have
.
Thus is strictly increasing. In particular,
for all
. Thus
for all
.
Bất đẳng thức Glaeser cổ điển phát biểu cho hàm thuộc lớp
định nghĩa trong
như sau:
Định lý. Giả sử . Khi đó ta có
nếu
và
nếu
Sau đây chúng ta cùng xét một mở rộng của bất đẳng thức trên trong trường hợp nhiều chiều.
Định lý. Giả sử . Khi đó tồn tại một hằng số
chỉ phụ thuộc vào số chiều
sao cho
nếu
và
nếu
.
Câu hỏi mở. Hằng số tốt nhất khi trong trường hợp nhiều chiều là bao nhiêu?
Tất cả các chứng minh của các bất đẳng thức nêu trên cũng như những mở rộng khác đều có trong bài báo dưới đây của Yan Yan Li và Louis Nirenberg.