Ngô Quốc Anh

September 7, 2007

The Glaeser inequality

Filed under: Các Bài Tập Nhỏ, PDEs — Tags: — Ngô Quốc Anh @ 1:39

Bất đẳng thức Glaeser cổ điển phát biểu cho hàm u thuộc lớpC^2 định nghĩa trong(-R, R) như sau:

Định lý. Giả sử \left| {\ddot u} \right| \leq M. Khi đó ta có

\left| {\dot u}(0) \right| \leq \sqrt {2u\left( 0 \right)M} nếu M \geq \frac{{2u\left( 0 \right)}}{{R^2 }}

\left| {\dot u} (0) \right| \leq \frac{{u\left( 0 \right)}}{R} + \frac{R}{2}M nếu M \geq \frac{{2u\left( 0 \right)}}{{R^2 }}.

Sau đây chúng ta cùng xét một mở rộng của bất đẳng thức trên trong trường hợp nhiều chiều.

Định lý. Giả sử \max|\Delta u|=M. Khi đó tồn tại một hằng số C chỉ phụ thuộc vào số chiều n sao cho

| \Delta u(x) | \leq C \sqrt{u(0) M} nếu R \geq \sqrt{\frac{u(0)}{M}} \geq 2|x|

| \Delta u(x) | \leq C \Big( \frac{u(0)}{R} + RM \Big) nếu 2|x| \leq R \leq \sqrt{\frac{u(0)}{M}}.

Câu hỏi mở. Hằng số tốt nhất khix=0 trong trường hợp nhiều chiều là bao nhiêu?

Tất cả các chứng minh của các bất đẳng thức nêu trên cũng như những mở rộng khác đều có trong bài báo dưới đây của Yan Yan Li và Louis Nirenberg.

~~>  generalization-of-a-well-known-inequality.pdf

Leave a Comment »

No comments yet.

RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

Create a free website or blog at WordPress.com.

%d bloggers like this: