Ngô Quốc Anh

September 7, 2007

“Tích phân suy rộng” vs. “Giải tích phức”

Filed under: Linh Tinh — Ngô Quốc Anh @ 19:28

Với mọi số phức z với phần thực dương ta luôn có

\displaystyle\int_{0}^{\infty}\frac{\cos x-e^{-zx}}{x}dx =\ln z .

Ta sẽ sử dụng đẳng thức này để tính các tích phân suy rộng

\displaystyle \int_0^\infty \frac{{{e^{ - ax}}-{e^{ - bx}}}}{{x \sec (px)}}dx =\boxed{\frac{1}{2}\ln \left( {\frac{{{b^2} + {p^2}}}{{{a^2} + {p^2}}}} \right)}

\displaystyle \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-a x}-e^{-b x}}{x \csc (px)}dx = \boxed{\arctan\left(\frac{b}{p}\right)-\arctan\left(\frac{a}{p}\right)}.

Lời giải. Ta thấy

\displaystyle \int_{0}^{\infty}\frac{e^{-(a-ip)x}-e^{-(b-ip)x}}{x}dx =\ln (b-ip)-\ln(a-ip)

\displaystyle \int_{0}^{\infty}\frac{(e^{-ax}-e^{-bx})e^{ipx}}{x}dx=\ln\sqrt{b^{2}+p^{2}}+i\arctan\left(-\frac{p}{b}\right)-\ln\sqrt{a^{2}+p^{2}}-i\arctan\left(-\frac{p}{a}\right).

Do đó

\displaystyle \int_{0}^{\infty}\frac{(e^{-ax}-e^{-bx})e^{ipx}}{x}dx =\ln\sqrt{\frac{b^{2}+p^{2}}{a^{2}+p^{2}}}+i\left[\left(-\frac{\pi}{2}+\arctan\frac{b}{p}\right)-\left(-\frac{\pi}{2}+\arctan\frac{a}{p}\right)\right].

Sử dụng công thức

\displaystyle e^{ipx}=\frac{1}{\sec (px)}+i\frac{1}{\csc (px)}

sau đó so sánh phần thực và phần ảo hai vế có ngay đáp số cần tìm.

Leave a Comment »

No comments yet.

RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

Blog at WordPress.com.

%d bloggers like this: