# Ngô Quốc Anh

## September 8, 2007

### “Tích phân suy rộng” vs. “Hàm Gamma”

Filed under: Các Bài Tập Nhỏ — Ngô Quốc Anh @ 19:36

Problem. For each $m,n>0$ prove that

$\displaystyle\int_{0}^{\infty}\ln x\cdot\sin (mx)\cdot e^{-nx}dx=\boxed{\frac{1}{m^{2}+n^{2}}\cdot\left(n\cdot\tan^{-1}\left(\frac{m}{n}\right)-m\cdot\gamma-\frac{m}{2}\cdot\ln (m^{2}+n^{2})\right)}$

and

$\displaystyle\int_{0}^{\infty}\ln x\cdot\cos (mx)\cdot e^{-nx}dx=\boxed{-\frac{1}{m^{2}+n^{2}}\cdot\left(m\cdot\tan^{-1}\left(\frac{m}{n}\right)+n\cdot\gamma+\frac{n}{2}\cdot\ln (m^{2}+n^{2})\right)}$.

Solution. Differentiate

$\displaystyle\int_{0}^{\infty}x^{z-1} e^{-Rx} dx =\frac{\Gamma(z)}{R^{z}}$

with respect to $z = 1$

$\displaystyle\int_{0}^{\infty}x^{z-1}\ln x e^{-Rx} dx =\frac{R^{z}\Gamma'(z)-\Gamma(z) R^{z}\ln R}{R^{2z}}$

and set $z = 1$

$\displaystyle\int_{0}^{\infty}\ln x e^{-Rx} dx =\frac{-\gamma-\ln R}{R}$

After that set $R = n+im$

$\displaystyle\begin{gathered} \int_0^\infty {\ln } x{e^{ - imx}}{e^{ - nx}}dx = \frac{{ - \gamma - \frac{1}{2}\ln ({n^2} + {m^2}) - i\arctan \frac{m}{n}}}{{n + im}} \hfill \\ \quad = \frac{{ - 1}}{{{n^2} + {m^2}}}\left[ {(n - im)\left( {\gamma + \frac{1}{2}\ln ({n^2} + {m^2}) + i\arctan \frac{m}{n}} \right)} \right] \hfill \\ \quad = \frac{{ - 1}}{{{n^2} + {m^2}}}\left( {n\gamma + \frac{n}{2}\ln ({n^2} + {m^2}) + m\arctan \frac{m}{n}} \right) \hfill \\ \qquad + \frac{i}{{{n^2} + {m^2}}}\left( {m\gamma + \frac{m}{2}\ln ({n^2} + {m^2}) - n\arctan \frac{m}{n}} \right). \hfill \\ \end{gathered}$

1. Cho em hỏi cách tính tích phân
$\displaystyle\int_0^{\infty} t^{-\frac{1}{2}} \sin t dt$

Comment by TriPhuong — January 20, 2013 @ 12:42

• Kết quả, bởi máy tính, là $\sqrt{\frac{\pi}{2}}$ nhé.

Comment by Ngô Quốc Anh — January 20, 2013 @ 12:46

• làm thế nào thầy?Gợi ý em với

Comment by TriPhuong — January 20, 2013 @ 12:58

• Cách làm chắc đại ý thế này thôi em ạ

$\displaystyle\int_0^A {{t^{ - \frac{1}{2}}}\sin tdt} \mathop = \limits^{u = \sqrt t } 2\underbrace {\int_0^{{A^2}} {\sin ({u^2})du} }_{ \to \sqrt {\frac{\pi }{8}} } = \sqrt {\frac{\pi }{2}} .$

Em xem thêm bài này nhé.

Comment by Ngô Quốc Anh — January 20, 2013 @ 13:32

2. em đọc trong sách thấy họ cho kết quả có liên quan hàm Gama mà chưa nghĩ ra cách làm

Comment by TriPhuong — January 20, 2013 @ 12:51

3. cảm ơn thầy ! em đã tìm được lời giải bằng tích phân chu tuyến từ http://en.wikipedia.org/wiki/Fresnel_integral

Comment by TriPhuong — January 25, 2013 @ 18:49

4. Con người thật thông minh khi sáng tạo ra số “i”, có rất nhiều bài toán mặc dù ta không tìm ra được lời giải nhưng thực tế lại rất dễ “đoán” ra đáp án (thường là đáp án đúng), bằng cách dùng công thức đúng vốn dành cho số thực áp dụng cho số phức. Ví dụ, tích phân của $\cos (x^2)$ (hoặc $\sin (x^2)$) với $x= - \infty$ đến $x = + \infty$, có thế đoán ra được kết quả đúng của nó bằng cách áp dụng công thức tích phân Gaussian với hệ số $\alpha =i$, dĩ nhiên kết quả này không được ai công nhận là đúng trừ khi bạn đưa bạn đưa ra được lời giải đầy đủ cho bài toán.

Comment by Trần Lượng — April 8, 2013 @ 21:46

5. Hồi xưa mình luyện thi đại học có gặp bài tích phân này: $\frac{1}{\sqrt{x^3+1}}$. Bạn nào có thể giải được bài này không.

Comment by Trần Lượng — April 8, 2013 @ 21:55

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.