Ngô Quốc Anh

September 8, 2007

“Tích phân suy rộng” vs. “Hàm Gamma”

Filed under: Các Bài Tập Nhỏ — Ngô Quốc Anh @ 19:36

Problem. For each m,n>0 prove that

\displaystyle\int_{0}^{\infty}\ln x\cdot\sin (mx)\cdot e^{-nx}dx=\boxed{\frac{1}{m^{2}+n^{2}}\cdot\left(n\cdot\tan^{-1}\left(\frac{m}{n}\right)-m\cdot\gamma-\frac{m}{2}\cdot\ln (m^{2}+n^{2})\right)}

and

\displaystyle\int_{0}^{\infty}\ln x\cdot\cos (mx)\cdot e^{-nx}dx=\boxed{-\frac{1}{m^{2}+n^{2}}\cdot\left(m\cdot\tan^{-1}\left(\frac{m}{n}\right)+n\cdot\gamma+\frac{n}{2}\cdot\ln (m^{2}+n^{2})\right)}.

Solution. Differentiate

\displaystyle\int_{0}^{\infty}x^{z-1} e^{-Rx} dx =\frac{\Gamma(z)}{R^{z}}

with respect to z = 1

\displaystyle\int_{0}^{\infty}x^{z-1}\ln x e^{-Rx} dx =\frac{R^{z}\Gamma'(z)-\Gamma(z) R^{z}\ln R}{R^{2z}}

and set z = 1

\displaystyle\int_{0}^{\infty}\ln x e^{-Rx} dx =\frac{-\gamma-\ln R}{R}

After that set R = n+im

\displaystyle\begin{gathered} \int_0^\infty {\ln } x{e^{ - imx}}{e^{ - nx}}dx = \frac{{ - \gamma - \frac{1}{2}\ln ({n^2} + {m^2}) - i\arctan \frac{m}{n}}}{{n + im}} \hfill \\ \quad = \frac{{ - 1}}{{{n^2} + {m^2}}}\left[ {(n - im)\left( {\gamma + \frac{1}{2}\ln ({n^2} + {m^2}) + i\arctan \frac{m}{n}} \right)} \right] \hfill \\ \quad = \frac{{ - 1}}{{{n^2} + {m^2}}}\left( {n\gamma + \frac{n}{2}\ln ({n^2} + {m^2}) + m\arctan \frac{m}{n}} \right) \hfill \\ \qquad + \frac{i}{{{n^2} + {m^2}}}\left( {m\gamma + \frac{m}{2}\ln ({n^2} + {m^2}) - n\arctan \frac{m}{n}} \right). \hfill \\ \end{gathered}

8 Comments »

  1. Cho em hỏi cách tính tích phân
    \displaystyle\int_0^{\infty} t^{-\frac{1}{2}} \sin t dt

    Comment by TriPhuong — January 20, 2013 @ 12:42

    • Kết quả, bởi máy tính, là \sqrt{\frac{\pi}{2}} nhé.

      Comment by Ngô Quốc Anh — January 20, 2013 @ 12:46

      • làm thế nào thầy?Gợi ý em với

        Comment by TriPhuong — January 20, 2013 @ 12:58

      • Cách làm chắc đại ý thế này thôi em ạ

        \displaystyle\int_0^A {{t^{ - \frac{1}{2}}}\sin tdt} \mathop = \limits^{u = \sqrt t } 2\underbrace {\int_0^{{A^2}} {\sin ({u^2})du} }_{ \to \sqrt {\frac{\pi }{8}} } = \sqrt {\frac{\pi }{2}} .

        Em xem thêm bài này nhé.

        Comment by Ngô Quốc Anh — January 20, 2013 @ 13:32

  2. em đọc trong sách thấy họ cho kết quả có liên quan hàm Gama mà chưa nghĩ ra cách làm

    Comment by TriPhuong — January 20, 2013 @ 12:51

  3. cảm ơn thầy ! em đã tìm được lời giải bằng tích phân chu tuyến từ http://en.wikipedia.org/wiki/Fresnel_integral

    Comment by TriPhuong — January 25, 2013 @ 18:49

  4. Con người thật thông minh khi sáng tạo ra số “i”, có rất nhiều bài toán mặc dù ta không tìm ra được lời giải nhưng thực tế lại rất dễ “đoán” ra đáp án (thường là đáp án đúng), bằng cách dùng công thức đúng vốn dành cho số thực áp dụng cho số phức. Ví dụ, tích phân của \cos (x^2) (hoặc \sin (x^2)) với x= - \infty đến x = + \infty, có thế đoán ra được kết quả đúng của nó bằng cách áp dụng công thức tích phân Gaussian với hệ số \alpha =i, dĩ nhiên kết quả này không được ai công nhận là đúng trừ khi bạn đưa bạn đưa ra được lời giải đầy đủ cho bài toán.

    Comment by Trần Lượng — April 8, 2013 @ 21:46

  5. Hồi xưa mình luyện thi đại học có gặp bài tích phân này: \frac{1}{\sqrt{x^3+1}}. Bạn nào có thể giải được bài này không.

    Comment by Trần Lượng — April 8, 2013 @ 21:55


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

Blog at WordPress.com.

%d bloggers like this: