Ngô Quốc Anh

October 29, 2007

Dirichlet-to-Neumann operator

Filed under: Nghiên Cứu Khoa Học — Ngô Quốc Anh @ 23:29

You have a domain \Omega\subset \mathbb R^n and a partial differential equation (such as \Delta u=0) in that domain. Take a function \phi defined on \partial\Omega, solve the boundary value problem with u=\phi on the boundary, and compute \psi=\frac{\partial u}{\partial n}, the normal derivative of solution on the boundary. The map \phi\mapsto\psi is the D-n-N operator.

A typical problem (motivated by tomography) is to recover the PDE from the D-n-N operator.

Mountain Pass Theorem

Filed under: Nghiên Cứu Khoa Học, PDEs — Ngô Quốc Anh @ 23:00

Suppose F \in C^1(V) satisfies (PS) condition with F(0)=0. There exist \rho >0, \alpha >0 and e \in V such that

\displaystyle\mathop {\inf }\limits_{\left\| u \right\| = \rho } F\left( u \right) \geqslant \alpha, \left\| e \right\| \geqslant \rho


F\left( e \right) < \alpha.


\displaystyle \beta = \mathop {\inf }\limits_{\Sigma \in \Gamma } \mathop {\sup }\limits_{u \in \Sigma } F\left( u \right)

is a critical value.

October 27, 2007

Đề thi cuối kỳ GT5 của K49

Filed under: Đề Thi — Ngô Quốc Anh @ 18:42

Những đề thi này chỉ có tính tham khảo, kể từ năm học 2007-2008 này, hình thức ra đề sẽ được thay đổi nhằm mục đích phù hợp với chương trình đạo tạo theo tín chỉ đang được áp dụng.



October 18, 2007

Đề thi giữa kỳ GT5 của K51

Filed under: Đề Thi — Ngô Quốc Anh @ 16:07



Một số dạng bài tập xét sự hội tụ của chuỗi số dương

Filed under: Giải Tích 4 — Ngô Quốc Anh @ 14:54

1. Let \sum a_n be a convergent series, with a_n \geq 0. What can we say about the nature of each of the following series?

(a) \displaystyle\sum\sqrt {a_n} (b) \displaystyle\sum a_n^2 (c) \displaystyle\sum \frac {a_n}{1 + a_n}
(d) \displaystyle\sum \frac {a_n^2}{1 + a_n^2} (e) \displaystyle\sum \frac {\sqrt {a_n}}{n} (f) \displaystyle\sum \frac {a_n}{\sqrt {n}}
(g) \displaystyle\sum \frac {a_n}{n} (h) \displaystyle\sum na_n (i) \displaystyle\sum \cos(a_n)
(j) \displaystyle\sum \sin(a_n) (k) \displaystyle\sum \tan(a_n) (l) \displaystyle\sum \cos(\sqrt {a_n})
(m) \displaystyle\sum [1 - \cos(\sqrt {a_n})] (n) \displaystyle\sum [1 - \cos(a_n)] (o) \displaystyle\sum \arcsin(a_n)
(p) \displaystyle\sum \arccos(a_n) (q) \displaystyle\sum a_n^{3/2} (r) \displaystyle\sum a_n^3
(s) \displaystyle\sum \frac {a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} (t) \displaystyle\sum \arctan(a_n) (u) \displaystyle\sum \frac {1}{1 + a_n}
(v) \displaystyle\sum ( - 1)^na_n (w) \displaystyle\sum \sqrt [n]{a_n} (x) \displaystyle\sum (a_n - a_{n + 1})
(y) \displaystyle\sum [\ln(1 + a_n)]^{5/4}

2) Regarding the same series of the previous question, how about if \sum a_n diverges?


\displaystyle\left( a \right) \to a_n = \frac{1}{{n^2 }}.

\displaystyle\left( b \right) \to a_n^2 \leqslant a_n \sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {a_n } .

\displaystyle\begin{gathered}\left( d \right) \to \frac{{a_n^2 }}{{1 + a_n^2 }} \leqslant \frac{{a_n^2 }}{{2a_n }} = a_n \hfill \\\left( c \right) \to \frac{{a_n }}{{1 + a_n }} \leqslant a_n . \hfill \\\end{gathered}

\displaystyle\left( e \right) \to \frac{{\sqrt {a_n } }}{n} \leqslant \frac{1}{2}\left( {a_n + \frac{1}{{n^2 }}} \right)

\displaystyle\left( f \right) \to \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac {{\frac {{a_n }} {{\sqrt n }}}} {{a_n }} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac {1} {{\sqrt n }} = 0= \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac {1} {n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac {{\frac {{a_n }} {n}}} {{a_n }} \leftarrow \left( g \right)

\displaystyle\left( h \right) \to a_n = \frac{1}{{n^2 }}.

\displaystyle\left( i \right) \to .

\displaystyle\left( j \right) \to |\sin(a_n)| \leqslant a_n.

\displaystyle\left( k \right) \to .

\displaystyle\left( l \right) \to .

\displaystyle\left( m \right) \to .

\displaystyle\left( n \right) \to .

\displaystyle\left( o \right) \to .

\displaystyle\left( p \right) \to .

\displaystyle\begin{gathered} \left( q \right) \to a_n^{\frac{3}{2}} \leqslant a_n \hfill \\\left( r \right) \to a_n^3 \leqslant a_n \hfill \\\end{gathered}

\displaystyle\left( s \right) \to \frac{{a_1 }}{n} \leqslant \frac{{a_1 + ... + a_n }}{n}.

\displaystyle\left( t \right) \to .

\displaystyle\left( u \right) \to a_n = \frac{1}{{n^2 }}.

\displaystyle\left( v \right) \to .

\displaystyle\left( w \right) \to a_n = \frac{1}{{n^n }}.

\displaystyle\left( x \right) \to |a_n-a_{n+1}| \leqslant a_n + a_{n+1}.

\displaystyle\left( y \right) \to .

October 16, 2007

1 = …?

Filed under: Các Bài Tập Nhỏ — Ngô Quốc Anh @ 23:12



the thing is anyone can basically start from 1 and go on to concoct any type of series and then ask for it’s sum.

Đề thi giữa kỳ GT4 của K51

Filed under: Đề Thi — Ngô Quốc Anh @ 22:42


Đề thi giữa kỳ GT3 của K51

Filed under: Đề Thi — Ngô Quốc Anh @ 22:40


Đề thi giữa kỳ GT2 của K51

Filed under: Đề Thi — Ngô Quốc Anh @ 22:38




Đề thi giữa kỳ GT1 của K51

Filed under: Đề Thi — Ngô Quốc Anh @ 22:37


Older Posts »

Create a free website or blog at