Ngô Quốc Anh

October 4, 2007

Đường cong Viviani

Filed under: Các Bài Tập Nhỏ, Giải Tích 5 — Ngô Quốc Anh @ 23:42

Trong phần bài tập về tích phân đường loại II, tôi sẽ cho các bạn làm thêm 1 bài tập có liên quan đến đường cong Viviani. Thế đây là đường cong gì. Về mặt toán học, đường cong Viviani xác định bởi giao của mặt cầu x^2+y^2+z^2=a^2 với mặt trụ x^2+y^2=ax. Về mặt hình học, chúng ta có thể vẽ mô tả đường cong này như sau

Viviani curve.png

Bài tập mà tôi muốn các bạn làm là tính tích phân sau

\displaystyle\oint\limits_V y^2 dx + z^2 dy + x^2 dz

lấy theo đường cong Viviani V nói ở trên.

Vài đẳng thức giới hạn liên quan đến tích phân

Filed under: Giải Tích 2 — Ngô Quốc Anh @ 17:10

Các đẳng thức sau thực sự là có ích trong thực hành (giả thiết liên tục đối với hàm).

         \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}  <br> {n}\int_0^n {f\left( {\sin x} \right)dx}  = \frac{1}  <br> {{2\pi }}\int_0^{2\pi } {f\left( {\sin x} \right)dx} .
      \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}  <br> {n}\int_0^n {f\left( {\left| {\sin x} \right|} \right)dx}  = \frac{1}  <br> {{\pi }}\int_0^{\pi } {f\left( {\sin x} \right)dx} .
\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \int_0^1 {xf\left( {\sin \left( {2\pi nx} \right)} \right)dx} = \frac {1} {{4\pi }}\int_0^{2\pi } {f\left( {\sin x} \right)dx} . 
   \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \int_a^b {f\left( x \right)\cos \left( {nx} \right)dx}  = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \int_a^b {f\left( x \right)\sin \left( {nx} \right)dx}  = 0.

               \[  \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \int_a^b {f\left( {nx} \right)dx}  = \frac{{b - a}}  {T}\int_0^T {f\left( x \right)dx}   \] nếu hàm liên tục và tuần hoàn chu kỳ T.

Chứng minh rất đơn giản chỉ bằng vài phép đổi biến.

1 bài tích phân xác định

Filed under: Các Bài Tập Nhỏ, Giải Tích 2 — Ngô Quốc Anh @ 16:50

Tính tích phân I_n\equiv\int_0^{\frac {\pi}{2}}\cos^nx\sin (n + 2)x\ \mathrm {dx} = A + B.

Lời giải.

I_n\equiv\int_0^{\frac {\pi}{2}}\cos^nx\sin (n + 2)x\ \mathrm {dx} = A + B, where

A\equiv\int_0^{\frac {\pi}{2}}\cos^nx\sin x\cos (n + 1)x\ \mathrm {dx} and B\equiv\int_0^{\frac {\pi}{2}}\cos^{n + 1}x\sin (n + 1)x\ \mathrm {dx}\ .

\boxed {\ \begin{array}{ccc} u(x) = \cos (n + 1)x & \Longrightarrow & u'(x) = - (n + 1)\sin (n + 1)x\ . \\  <br>  \\  <br> v'(x) = \cos^nx\sin x & \Longrightarrow & v(x) = - \frac {1}{n + 1}\cdot\cos^{n + 1}x\ .\end{array}\ }\right\| 

A = \left[ - \frac {1}{n + 1}\cdot \cos^{n + 1}x\cos (n + 1)x\right]_0^{\frac {\pi}{2}} - B 

A + B = \left[ - \frac {1}{n + 1}\cdot \cos^{n + 1}x\cos (n + 1)x\right]_0^{\frac {\pi}{2}} 

 \boxed {\ I_n = \frac {1}{n + 1}\ }\ .

Create a free website or blog at WordPress.com.