Ngô Quốc Anh

November 29, 2007

Tích phân bội liên quan đến hàm max – kết quả tuyệt đẹp

Filed under: Các Bài Tập Nhỏ, Giải Tích 5 — Ngô Quốc Anh @ 1:10

Có hai kết quả sau khá hay và đẹp (với sự giúp đỡ của TS. Đ.A. Tuấn)

Trong trường hợp 2 chiều

\displaystyle\int_0^1 {\int_0^1 {\max \left\{ {x^m ,y^n } \right\}dxdy} } = \frac{{m + n}}{{mn + m + m}} = \frac{{\frac{1}{m} + \frac{1}{n}}}{{1 + \frac{1}{m} + \frac{1}{n}}}.

còn trong 3 chiều thì

\displaystyle\int_0^1 {\int_0^1 {\int_0^1 {\max \left\{ {x^m ,y^n ,z^p } \right\}dxdydz} } } = \frac{{mn + np + pm}}{{mnp + mn + np + pm}}.

Dự đoán trong trường hợp n chiều thì kết quả sẽ là

\displaystyle\idotsint_0^1 {\max \left\{ {x_1^{\alpha _1 } ,x_n^{\alpha _n } ,...,x_n^{\alpha _n } } \right\}dx_1 dx_2 ...dx_n } = \frac{{\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{{\alpha _i }}} }}{{1 - \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{{\alpha _i }}} }}.

5 Comments »

  1. Bài toán thật thú vị
    Kêt quả đúng nếu mẫu số của biểu thức cuối cùng vế phải là dấu cộng. Hihi
    Trước hết dùng cái này.
    \int\limits_{[0,1]} {\max \{ x_1 ,x_2 ,...,x_n \} dx_1 dx_2 ...x_n }  = !\int\limits_0^1 {x_1 dx_1 } \int\limits_0^{x_1 } {dx_2 }...\int\limits_0^{x_n  - 1} {dx_n }  = \frac{n}{{n + 1}}
    Sau đó đưa về đặt ẩn phụ đưa về bật nhất.

    Comment by nguyenngoc — July 20, 2008 @ 17:33

  2. Híc! Thiếu n! bên ở vế giữa!

    Comment by nguyenngoc — July 20, 2008 @ 17:34

  3. Nếu Ngọc cung cấp lời giải thì tốt quá🙂

    Comment by Ngô Quốc Anh — July 20, 2008 @ 18:09

  4. Xin lỗi anh! Anh vào blog em xem thử!

    Comment by nguyenngoc — August 30, 2008 @ 1:04

    • Địa chỉ blog của nguyenngoc là gì?

      Comment by Ngô Quốc Anh — January 8, 2010 @ 3:12


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

Blog at WordPress.com.

%d bloggers like this: