Ngô Quốc Anh

December 13, 2007

BĐT liên quan đến đạo hàm và quy tắc l’Hospital

Filed under: Các Bài Tập Nhỏ, Giải Tích 2 — Ngô Quốc Anh @ 0:51

Giả sử f\in C^{2}[0,\infty) sao cho

\displaystyle |f''(x)+2xf'(x)+(x^2+1)f(x)|\leq 1

với mọi x\in [0,\infty). Chứng minh rằng \lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=0.

Lời giải. Đặt

\displaystyle g(x)=e^{\frac{x^2}2}(xf(x)+f'(x)) .

Khi đó ta có

\displaystyle g'(x)=e^{\frac{x^2}2}\left(f''(x)+2xf'(x)+(x^2+1)f(x) \right) .

Vì vậy

\displaystyle\lim_{x \to +\infty}(xf(x)+f'(x))=\lim_{x \to +\infty}\frac{g(x)}{e^{\frac{x^2}2}}=\lim_{x \to +\infty}\frac{g'(x)}{xe^{\frac{x^2}2}}=0 .

Tiếp tục đặt

\displaystyle h(x)=e^{\frac{x^2}2}f(x) .

Khi đó

\displaystyle h'(x)=e^{\frac{x^2}2}(xf(x)+f'(x)) .

Và vì vậy

\displaystyle \lim_{x \to +\infty}f(x)=\lim_{x \to +\infty}\frac{h(x)}{e^{\frac{x^2}2}}=\lim_{x \to +\infty}\frac{h'(x)}{xe^{\frac{x^2}2}}=\lim_{x \to +\infty}\frac{xf(x)+f'(x)}{x}=0.

Điều phải chứng minh.

Leave a Comment »

No comments yet.

RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

Blog at WordPress.com.

%d bloggers like this: