Ngô Quốc Anh

March 19, 2008

Lại là BĐT tích phân

Filed under: Các Bài Tập Nhỏ, Giải Tích 2 — Ngô Quốc Anh @ 0:24

Trong đề chọn đội tuyển OLP’08 của Trường có bài bất đẳng thức tích phân sau:

Cho hàm số f \in C^1([0,1]). Giả sử rằng

\int_0^1 {f\left( x \right)dx}  = \int_0^1 {xf\left( x \right)dx}  = 1.

Chứng minh

\int_0^1 {\left( {f\left( x \right)} \right)^2 dx}  \geqslant 4 \quad , \quad \int_0^1 {x\left( {f'\left( x \right)} \right)^2 dx}  \geqslant 4.

Đối với bất đẳng thức thứ 2, có thể tham khảo cách làm tương tự ở đây

https://anhngq.wordpress.com/2008/02/28/bdt-tich-phan/

Đối với bất đẳng thức thứ 1, ta làm như sau: Dễ thấy hàm g(x) = 6x-2 thỏa mãn các điều kiện của bài toán. Chú ý rằng

0 \leqslant \int_0^1 {\left( {f\left( x \right)} \right)^2 dx}  - 2\int_0^1 {f\left( x \right)g\left( x \right)dx}  + \int_0^1 {\left( {g\left( x \right)} \right)^2 dx} .

Mặt khác

\int_0^1 {f\left( x \right)g\left( x \right)dx}  = \int_0^1 {\left( {6x - 2} \right)f\left( x \right)dx}  = 4

\int_0^1 {\left( {g\left( x \right)} \right)^2 dx}  = \int_0^1 {\left( {6x - 2} \right)^2 dx}  = 12 - 12 + 4 = 4.

Từ đó suy ra

\int_0^1 {\left( {f\left( x \right)} \right)^2 dx}  \geqslant 4.

Leave a Comment »

No comments yet.

RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

Create a free website or blog at WordPress.com.

%d bloggers like this: