# Ngô Quốc Anh

## June 7, 2008

### Some important functional inequalities

Hardy’s inequality: Nếu $p>1$, $f(x) \geq 0$ and $F(x) = \int_0^x f(t) dt$, thì

$\displaystyle\int_0^{+\infty} \left( \frac{F(x)}{x} \right)^p dx < \left( \frac{p}{p - 1} \right)^p \int_0^{+\infty} f^p( t )dt$

trừ trường hợp hàm $f(x) \equiv 0$. Hằng số ở vế phải là tốt nhất.

Opial‘s inequality: Giả sử $y(x)$ thuộc lớp $C^1$ trên đoạn [0, h] với $y(0)=y(h)=0$ and $y(x) >0$ với mọi $0. Khi đó ta có

$\displaystyle\int_0^h {|y(x)y'(x)|dx} \leqq \frac{h}{4}\int_0^h {|y'(x){|^2}dx}$.

Hằng số $\frac{h}{4}$ ở đây là tốt nhất.

Rellich‘s inequality: Giả sử hàm $u$ khả vi vô hạn với giá compắc trong $\mathbb R^N$ trừ điểm gốc. Khi đó ta có bất đẳng thức

$\displaystyle\int_{\mathbb{R}^N } {\left| {\Delta u} \right|^2 dx} \geqq \frac{{n^2 \left( {n - 4} \right)^2 }} {{16}}\int_{\mathbb{R}^N } {\left| x \right|^{ - 4} \left| u \right|^2 dx} , \quad n \ne 2$.

Serrin‘s inequality: Giả sử hàm $u$ khả vi vô hạn với giá compắc triệt tiêu trên biên $\Omega$, khi đó

$\displaystyle\left( {\int_\Omega {u^{\frac{n} {{n - 1}}} dx} } \right)^{\frac{{n - 1}} {n}} \leqq \frac{1} {{\sqrt {4n} }}\int_\Omega {\left| {\nabla u} \right|dx}$.

Caffarelli–Kohn–Nirenberg‘s inequality: Giả sử hàm $u$ khả vi vô hạn với giá compắc trong $\mathbb R^N$ trừ điểm gốc. Khi đó ta có bất đẳng thức

$\displaystyle\frac{{\left| {N - \left( {a + b + 1} \right)} \right|}} {2}\int_{\mathbb{R}^N } {\frac{{\left| u \right|^2 }} {{\left| x \right|^{a + b + 1} }}dx} \leqq \sqrt {\int_{\mathbb{R}^N } {\frac{{\left| u \right|^2 }} {{\left| x \right|^{2a} }}dx} } \sqrt {\int_{\mathbb{R}^N } {\frac{{\left| u \right|^2 }} {{\left| x \right|^{2b} }}dx} }$.

Gagliardo-Nirenberg-Sobolev‘s inequality: Giả sử hàm $u$ khả vi liên tục với giá compắc trong $\mathbb R^N$$1 \leq p < N$. Khi đó ta có bất đẳng thức

$\displaystyle\left( {\int_{\mathbb{R}^N } {\left| u \right|^{\frac{{Np}} {{N - p}}} dx} } \right)^{\frac{{N - p}} {{Np}}} \leqq C\left( {p,N} \right)\left( {\int_{\mathbb{R}^N } {\left| {\nabla u} \right|^p dx} } \right)^{\frac{1} {p}}$.

Horgan‘s inequality: Giả sử hàm $u$ trơn, khi đó với miền đang xét là bị chặn với biên đủ trơn thì

$\displaystyle\int_\Omega {\left| u \right|^3 dx} \leqq \frac{1} {{\sqrt {4\pi } }}\left( {\int_\Omega {\left| u \right|^2 dx} } \right)^{\frac{3} {4}} \left( {\int_\Omega {\left| {\nabla u} \right|^2 dx} } \right)^{\frac{3} {4}}$.

1. excuse me, how to prove the Trudinger inequality on the torus $\mathbb T$:

$\displaystyle \parallel u \parallel_{L^p} \leq C \sqrt p \parallel u \parallel_{H^{\frac{1}{2}}}$

thank you very much.

Comment by xaboblog — January 26, 2013 @ 2:38

2. Hello, it is great to see your website! I have benefited much from it.

About Horgan‘s inequality, I am interested in it. Do you have any references about Horgan’s inequality? I cannot find any related literature on the internet. Thank you!

Comment by Li-Chang hung — February 5, 2014 @ 17:07

• Hi there, for the Horgan inequality, let me know if the following paper is not useful, see http://dx.doi.org/10.1007/BF01595590.

Comment by Ngô Quốc Anh — February 5, 2014 @ 20:46

• Thanks for the quick reply:)

I have found this paper, where the Horgan inequality is mentioned. It also cites some related references. This inequality is of Sobolev type and is useful in PDEs.

Comment by Li-Chang hung — February 6, 2014 @ 14:20

• Do you still need other resources?

Comment by Ngô Quốc Anh — February 6, 2014 @ 22:35

• You mean references related to the Horgan inequality?

Comment by Li-Chang hung — February 9, 2014 @ 14:49

• Yep, somehow. If you are still not happy with the paper I gave above, just let me know.

Comment by Ngô Quốc Anh — February 9, 2014 @ 19:04

• The first paper you showed me is enough. If you have more related references to provide me, I will be very appreciated:)

Comment by Li-Chang hung — February 9, 2014 @ 22:47