# Ngô Quốc Anh

## September 11, 2008

### Một bài giới hạn khó về hàm lượng giác

Filed under: Các Bài Tập Nhỏ, Giải Tích 1 — Ngô Quốc Anh @ 22:02

Show that for any irrational $\alpha$ the limit $\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sin \left( {n\alpha \pi } \right)$

does not exist.

Solution. If the limit existed then we would get $\displaystyle 0 = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\sin \left( {\left( {n + 2} \right)\alpha \pi } \right) - \sin \left( {n\alpha \pi } \right)} \right) = 2\sin \left( {\alpha \pi } \right)\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \cos \left( {\left( {n + 1} \right)\alpha \pi } \right)$

and consequently, $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \cos \left( {n\alpha \pi } \right) = 0$. Similarly, $\displaystyle0 = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\cos \left( {\left( {n + 2} \right)\alpha \pi } \right) - \cos \left( {n\alpha \pi } \right)} \right) = - 2\sin \left( {\alpha \pi } \right)\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \cos \left( {\left( {n + 1} \right)\alpha \pi } \right)$

which is impossible because $\sin^2x+\cos^2x=1$ for all $x \in \mathbb R$. Therefore the limit does not exist.

## 4 Comments »

1. Quoc Anh,
Sua lai dang thuc thu 2 kia. la sin chu k phai sin dau a.
Dang Tuan Hiep

Comment by dangtuanhiep — September 13, 2008 @ 0:35

2. Ờ đúng rồi, cos – cos phải là -2 sin sin chứ :). Cảm ơn Hiệp nhá.

Comment by Ngô Quốc Anh — September 13, 2008 @ 0:36

3. IC bi am nen ghi nham ca cong thuc luong giac kia .

Comment by Hue Tran — October 12, 2008 @ 23:00

4. Cảm ơn H..

Comment by Ngô Quốc Anh — October 12, 2008 @ 23:08

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.