Ngô Quốc Anh

June 11, 2011

The Entropy-Logarithmic energy inequality

Filed under: PDEs, Riemannian geometry — Tags: — Ngô Quốc Anh @ 17:39

Recently, I have read a result by J. Demange published in J. Funct. Anal. in 2008 [here]. In that paper,  as a simple consequence, the author proves the following interesting inequality

Theorem. Let n\geqslant 2 be an integer and M be a compact connected n-dimensional Riemannian manifold with Ricci curvature bounded below by a positive constant \rho. The following inequality holds for d \in \mathbb R, d>n, d \geqslant 3, \alpha=1/2-1/d, and f , a smooth function mapping M onto \mathbb R_+

\displaystyle \left(\int_M f\right)^{2\alpha}-\int_M f^{2\alpha} \leqslant \frac{1}{K(n,d)}\int_M |\nabla f^\alpha|^2

and

\displaystyle \left(\int_M f\right)^{2\alpha}-\int_M f^{2\alpha} \leqslant K_1\log\left(1+K_2\int_M |\nabla f^\alpha|^2\right)

where

\displaystyle K(n,d)=\frac{\rho (d-2)}{4(1-\frac{1}{n})}, \quad L(n,d)=\frac{d-n}{n+2}\left( 4-9\frac{d-n}{d(n+2)}\right),

and

\displaystyle K_2=\frac{L(n,d)d}{4(d-2)K(n,d)(\int_M f)^{2\alpha}},\quad \frac{1}{K_1}=K_2K(n,d).

In my opinion, the interesting part is that it measures the difference

\displaystyle \left(\int_M f\right)^{2\alpha}-\int_M f^{2\alpha}.

In view of the Jensen inequality and since 0<2\alpha<1, we know that

\displaystyle {\left( {\frac{1}{{\text{vol}(M)}}\int_M f } \right)^{2\alpha }} \geqslant \frac{1}{{\text{vol}(M)}}\int_M {{f^{2\alpha }}}.

In other words,

\displaystyle {\left( {\int_M f } \right)^{2\alpha }} \geqslant {(\text{vol}(M))^{2\alpha - 1}}\int_M {{f^{2\alpha }}} .

There is a different view. From the Poincare inequality, we all know that

\displaystyle\int_M {{{\left( {f - \frac{1}{\text{vol}(M)}\int_M f } \right)}^2}} \leqslant \int_M {|\nabla f{|^2}} .

Expanding the term on the left gives

\displaystyle\int_M {{f^2}} \leqslant \frac{1}{\text{vol}(M)}{\left( {\int_M f } \right)^2} + \int_M {|\nabla f{|^2}} .

Therefore, we again have a way to measure the difference

\displaystyle \left(\int_M f\right)^2-\int_M f^2.

1 Comment »

  1. Hi anh, thời gian vừa rồi em hơi tự kỉ một chút vì vợ em quay về Vn, giờ mới sốc lại được tinh thần🙂 Về tham khảo cho việc tồn tại hàm trơn xác định tập lồi thì em cũng ko biết tìm ở đâu (kết quả này em nghe nhiều rồi nên cứ dùng thôi). Tuy nhiên ta có thể hình dung một chút như sau: trước hết bởi tịnh tiến, ta giả sử gốc tọa độ nằm trong phần trong của tập lồi đang xét, khi đó phiếm hàm Minkowski của tập lồi này (nếu tập lồi đối xứng qua gốc tọa độ thì phiếm hàm này sẽ là một chuẩn, và tập lồi đã cho là hình cầu đơn vị của nó). Em nghĩ rằng nếu tập lồi trơn thì phiếm hàm này sẽ là hàm trơn ngoại trừ tại gốc tọa độ (cái này em chưa chứng minh🙂 ) . Một tham khảo tốt cho vấn đề này có thể là cuốn sách “Convex bodies: The Brunn-Minkowski theory” của Rolf Schneider (khoảng 500 trang). Cuốn sách này viết khá nhiều về các tập lồi và các bài toán liên quan trong hình học (có một hội chuyên làm về cái này như Lutwak, Zhang, Dean Yang, Ludwig, ….chẳng hiểu các bài toán này dùng để làm gì mà toàn publish trên J. Diff Geo va AIM😀 )

    Còn về bất đẳng thức Holder ngược thì cái này được biết lâu rồi (có thể xem bài báo của Borell “Complements of Lyapunov inequality”), và nó là công cụ dùng để nghiên cứu các bài toán liên quan đến các độ đo log-concave và tập lồi khi số chiều ra vô cùng. Các kết quả thu được khá kì lạ, hình như Vitali Milman có viết một bài tóm tắt nói về các hiện tượng kì lạ này (nói chung trong hướng này còn tồn tại rất nhiều bài toán mở)

    Comment by Van Hoang Nguyen — December 1, 2013 @ 5:53


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

Create a free website or blog at WordPress.com.

%d bloggers like this: