This note is to concern a recent result by David G. Costa [here]. Here the statement
Theorem 1.1. For all
and
one has
where
. In addition, if
, then
where the constant
is sharp.
Here’s the proof.
This note is to concern a recent result by David G. Costa [here]. Here the statement
Theorem 1.1. For all
and
one has
where
. In addition, if
, then
where the constant
is sharp.
Here’s the proof.
The classical Hardy inequality in ,
, is stated as follows
Theorem (Hardy’s inequality). Let
with
. Then
and
.
The constant
is the best possible constant.
I suddenly found a very simple proof due to E. Mitidieri [here].
Hardy’s inequality: Nếu ,
and
, thì
trừ trường hợp hàm . Hằng số ở vế phải là tốt nhất.
Opial‘s inequality: Giả sử thuộc lớp
trên đoạn [0, h] với
and
với mọi
. Khi đó ta có
.
Hằng số ở đây là tốt nhất.
Rellich‘s inequality: Giả sử hàm khả vi vô hạn với giá compắc trong
trừ điểm gốc. Khi đó ta có bất đẳng thức
.
Serrin‘s inequality: Giả sử hàm khả vi vô hạn với giá compắc triệt tiêu trên biên
, khi đó
.
Caffarelli–Kohn–Nirenberg‘s inequality: Giả sử hàm khả vi vô hạn với giá compắc trong
trừ điểm gốc. Khi đó ta có bất đẳng thức
.
Gagliardo-Nirenberg-Sobolev‘s inequality: Giả sử hàm khả vi liên tục với giá compắc trong
và
. Khi đó ta có bất đẳng thức
.
Horgan‘s inequality: Giả sử hàm trơn, khi đó với miền đang xét là bị chặn với biên đủ trơn thì
.