Ngô Quốc Anh

November 25, 2007

arcsinh = ln?

Filed under: Các Bài Tập Nhỏ — Ngô Quốc Anh @ 22:19

Có 2 công thức sau đây mà chúng ta nên biết. $\text{arcsinh}\,x=\ln\,(x+\sqrt{1+x^2})$ $\operatorname{arcsinh}x = - \ln \left( {\sqrt {x^2 + 1} + x} \right).$

Chứng minh. By definition, $\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$. Now let $y = \sinh x$, and let’s solve the equation for x: $y = \frac{e^x - e^{-x}}{2} => e^x - e^{-x} = 2y => e^{2x} - 1 = 2ye^x => e^{2x} - 2ye^x - 1 = 0$

and now solving for e^x we get $e^x = \frac{2y \pm \sqrt{4y^2+4}}{2} => e^x = y + \sqrt{1+y^2}$

(we take the + sign because the exponential is always positive). Therefore we may conclude).

Since $\sqrt {x^2 + 1} - x = \frac{{\left( {\sqrt {x^2 + 1} - x} \right)\left( {\sqrt {x^2 + 1} + x} \right)}}
{{\sqrt {x^2 + 1} + x}} = \frac{1}
{{\sqrt {x^2 + 1} + x}}$

then $\ln \left( {\sqrt {x^2 + 1} - x} \right) = \ln \left( {\frac{1}
{{\sqrt {x^2 + 1} + x}}} \right) = - \ln \left( {\sqrt {x^2 + 1} + x} \right).$

Thus $\operatorname{arcsinh}x = - \ln \left( {\sqrt {x^2 + 1} + x} \right).$