Ngô Quốc Anh

September 7, 2007

The Glaeser inequality

Filed under: Các Bài Tập Nhỏ, PDEs — Tags: — Ngô Quốc Anh @ 1:39

Bất đẳng thức Glaeser cổ điển phát biểu cho hàm u thuộc lớpC^2 định nghĩa trong(-R, R) như sau:

Định lý. Giả sử \left| {\ddot u} \right| \leq M. Khi đó ta có

\left| {\dot u}(0) \right| \leq \sqrt {2u\left( 0 \right)M} nếu M \geq \frac{{2u\left( 0 \right)}}{{R^2 }}

\left| {\dot u} (0) \right| \leq \frac{{u\left( 0 \right)}}{R} + \frac{R}{2}M nếu M \geq \frac{{2u\left( 0 \right)}}{{R^2 }}.

Sau đây chúng ta cùng xét một mở rộng của bất đẳng thức trên trong trường hợp nhiều chiều.

Định lý. Giả sử \max|\Delta u|=M. Khi đó tồn tại một hằng số C chỉ phụ thuộc vào số chiều n sao cho

| \Delta u(x) | \leq C \sqrt{u(0) M} nếu R \geq \sqrt{\frac{u(0)}{M}} \geq 2|x|

| \Delta u(x) | \leq C \Big( \frac{u(0)}{R} + RM \Big) nếu 2|x| \leq R \leq \sqrt{\frac{u(0)}{M}}.

Câu hỏi mở. Hằng số tốt nhất khix=0 trong trường hợp nhiều chiều là bao nhiêu?

Tất cả các chứng minh của các bất đẳng thức nêu trên cũng như những mở rộng khác đều có trong bài báo dưới đây của Yan Yan Li và Louis Nirenberg.

~~>  generalization-of-a-well-known-inequality.pdf

Advertisements

Blog at WordPress.com.