# Ngô Quốc Anh

## September 7, 2007

### Bài tập nhỏ về bất đẳng thức đạo hàm

Filed under: Các Bài Tập Nhỏ — Ngô Quốc Anh @ 19:21

Let $f$ be a differentiable real valued function with $f(0) = 0$ which satisfies $f'(x) > f(x)$ for all $x\in\mathbb{R}$. Prove that $f(x) > 0$ for all $x > 0$.

Solution. We have

$(e^{-x}f)' = e^{-x}f'-e^{-x}f > 0$.

Thus $e^{-x}f$ is strictly increasing. In particular, $e^{-x}f(x) > e^{-0}f(0) = 0$ for all $x > 0$. Thus $f(x) > 0$ for all $x > 0$.

Advertisements

No comments yet.